运筹学例题建模及求解过程

作为一门研究问题优化的学科，运筹学经常被应用于各个领域，如交通管理、生产计划、金融风险管理等。本文将以一道运筹学例题为例，从建模、求解等角度剖析运筹学在实际问题中的应用。

问题描述：

某工厂生产A、B两种产品，有4台机器可供使用。不同生产过程需要的机器时间如下表：

| 工序 | 机器1 | 机器2 | 机器3 | 机器4 |

| :----: | :-----: | :-----: | :-----: | :-----: |

| A1 | 2 | 0 | 1 | 3 |

| A2 | 1 | 2 | 1 | 0 |

| B1 | 1 | 1 | 2 | 2 |

| B2 | 0 | 2 | 1 | 1 |

其中，A1和A2是生产A产品的两个工序，B1和B2是生产B产品的两个工序。每个工序需要按顺序使用相应的机器，在任何时间每个机器只能用于一个工序。生产A、B产品的利润分别为3和4。若每种产品至少要生产50个，且总利润最大，试问工厂最多能获得多少利润？

建模：

该问题要求优化总利润，因此可以将总利润定义为目标函数。在选用目标函数的基础上，还需确定决策变量。在本问题中，决策变量为工序排列的选择，即确定每个工序使用的机器和该工序在整个流程中的位置。因此，我们可以将该问题分解为以下小问题：

1. 确定生产过程的排列情况

2. 确定每个工序使用的机器以及使用时长

为了求解决策变量，我们需引入约束条件。从情景中看，约束条件有以下几点：

1. 每个工序按顺序与相应机器配对使用

2. 任何时间一台机器只能用于一个工序

3. 每个产品至少生产50个

求解：

本问题可以用整数线性规划算法来解决，其具体求解过程如下：

1. 将单位时间的利润转化为总利润，公式为 3A + 4B。

2. 需要通过建立线性规划模型来描述求解的问题，因此可以定义以下变量：

（i）Ai, Bi：可生产的A、B产品的数量

（ii）Ti,m：每个工序i所占用的机器m的时间

3. 约束条件为：

（i）每个工序必须先于下一个工序开始，公式为

2A1 ≤ T1,1

T1,1 + B1 ≤ T2,1

T2,1 + A2 ≤ T3,1

1B1 ≤ T1,2

T1,2 + A1 ≤ T2,2

T2,2 + B2 ≤ T3,2

（ii）每个机器只能被一项工序占用，公式为

T1,1 + T1,2 ≤ 4

T2,1 + T2,2 ≤ 4

T3,1 + T3,2 ≤ 4

T4,1 + T4,2 ≤ 4

（iii）每个产品，A和B，必须生产至少50件，公式为

A ≥ 50

B ≥ 50

（iv）变量必须是正整数

4. 进行目标函数优化求解，得出最终解。