二分查找算法的基本原理

在计算机科学中，二分查找算法（Binary Search）也叫折半查找算法，是一种在有序数组中查找某一特定元素的算法。二分查找算法在实际应用中非常广泛，其基本思想是将一个有序集合分成两半，利用中间点比较，排除一半的数据，从而递归地查找目标元素。与顺序查找法相比，二分查找算法的查找时间效率更高，随着数据量的增长，差距也越来越大。

一、基本原理

简单地说，二分查找算法的运行过程如下：

1. 将有序集合分成两段，取中间值a。

2. 将查找值b与中间值a比较。

3. 若b大于a，则在后半段查找。

4. 若b小于a，则在前半段查找。

5. 若b等于a，则查找成功。

6. 若没找到，则继续将剩余有序部分分段，重复上述步骤。

比如，我们要查找数字1在数组arr=[-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,20,30]中的位置。首先将arr分成两段，取中间值a=4，发现1小于a，于是在arr的前半段[-3,-2,-1,0,1,2,3]中查找。继续分成两段，取中间值a=-1，发现1大于a，于是在[-1,0,1,2,3]中查找。继续分成两段，取中间值a=1，发现1等于a，查找成功。

二、复杂度分析

从算法复杂度的角度看，二分查找算法的时间复杂度为O(logn)，其中n为有序集合的元素个数。因为二分查找算法每次将有序集合分成两半，所以在最坏情况下，需要递归调用log2n次。空间复杂度为O(1)，只需常数级别的存储空间。

从性能角度看，二分查找算法适用于静态查找表（即不需要频繁地插入、删除、修改元素的情况下），查找效率很高，而且使用简单。

三、优化

虽然二分查找算法的时间复杂度很优秀，但在实际应用中还有很大的优化空间。下面介绍几个优化技巧。

1. 左右指针优化

将左右指针l、r初始化为数组的两端，然后在查找过程中不断调整l和r，来实现不断缩小查找范围。这样可以在很多查找场景中提高速度。

2. 循环展开优化

循环展开优化（Loop Unrolling）是一种编译器优化技术，常用于循环计算。在二分查找算法中，可以将循环展开到4次或者8次，这样可以减少循环次数，提高执行速度。

3. 查找值与中间值的比较

一般情况下，二分查找算法比较查找值b与中间值a的大小关系，如果b小于a，则在左半段查找，如果b大于a，则在右半段查找。但有时候可以反过来比较，提高查找速度。