最佳二叉排序树怎么构造

二叉排序树是一种矮平衡树。当一个节点比其它节点更深时，我们可以通过旋转操作将其变浅，这就是平衡二叉排序树（AVL树）和红黑树的核心思想。但是，如果我们希望构造一个最佳二叉排序树，那么又该如何实现呢？本文将从以下几个角度对此进行探讨。

一、什么是最佳二叉排序树？

在深入探讨如何构造最佳二叉排序树之前，让我们先来了解一下它是什么。最佳二叉排序树是用于关键字访问的一种数据结构，它是一棵二叉排序树，可以使得在进行查找操作时所需的比较次数最少。

具有n个不同关键字的元素的最佳二叉排序树有n + 1个外部节点和n个内部节点。每个内部节点有两个儿子，左儿子代表比该节点关键字小的元素，右儿子代表比该节点关键字大的元素。

二、如何构造最佳二叉排序树？

1.动态规划

最佳二叉排序树可以通过动态规划算法来构造。假设我们已经得到了关键字集合的一个有序序列K = {k1, k2,…,kn}，最佳二叉排序树可以在O（n ^ 3）时间内构造出来。具体来说，可以使用以下的递推方法：

定义c[i][j]为在子树T[i, j]中查找的比较次数的期望值，再定义w[i][j]为包括关键字ki ~kj的概率和，那么c[i][j]可以按如下方式递归计算：

c[i][j]=min{c[i][r-1]+c[r+1][j]+w[i][j]}（i<=r<=j）

但是，这种方法只适用于离线问题。

2.贪心算法

由于动态规划算法的时间复杂度比较高，因此我们也可以考虑利用贪心算法来构造最佳二叉排序树。在贪心算法中，我们需要确定每个节点的父亲，使得在树中查找关键字的比较次数最少。

具体来说，可以使用以下的递推方式：

首先，对于每个关键字ki，将概率pi、qi分别存储在数组P和Q中，其中，qi实际上就是该关键字在其父节点的左右两个子节点中的概率和。我们令e[i][j]表示在子树Ti,j中查找的比较次数的期望值。令W[i][j]表示w[i][j]（即所有的pi+qi的和）。然后可以按如下方式递归计算：

e[i][j]=q[i-1][j] +q[i][j] +e[i+1][j] +∑(k=i+1) to(j)pk +∑(k=i) to j-1 qk

其中，e[i+1][j]、e[i][j-1]都是已知的，因此可以在O（n ^ 3）的时间内计算出e[i][j]。然后就可以构造最佳二叉排序树了。

三、总结

最佳二叉排序树是一种在关键字访问效率方面表现优异的数据结构。我们可以通过动态规划算法或者贪心算法来构造它。动态规划算法适用于离线问题，时间复杂度为O（n ^ 3）；贪心算法需要确定每个节点的父亲，时间复杂度同样为O（n ^ 3）。因此，我们可以根据具体的问题场景来选择不同的构造方法。最后，需要注意的是，最佳二叉排序树在删除或者插入元素时不保证最小比较次数，因此在实际应用中需要注意。