背包问题c语言

背包问题是计算机科学中的经典问题之一，它在许多领域中都有应用，如资源分配、调度和优化等。本文将从多个角度分析背包问题，并以C语言为例，介绍如何实现背包问题的解法。

一、背包问题的定义和分类

背包问题（Knapsack problem）是指给定一个装满容量为W的背包和n个重量为wi、价值为vi的物品，如何选取物品放入背包中，使得所选物品的总价值最大。

基本的背包问题可以分为01背包、完全背包和多重背包。01背包问题是指每个物品只能选择一次，完全背包问题是指每个物品可以无限次选择，而多重背包问题则是指每个物品最多只能选择Mi次。

二、01背包问题的解法

01背包问题可以使用动态规划来解决。设f(i,j)表示前i个物品中，放入容量为j的背包中的物品的最大价值，则有以下递推式：

f(i,j) = max{f(i-1,j), f(i-1,j-wi)+vi}

其中，第一种情况是第i个物品不放入背包，第二种情况是将第i个物品放入背包中。根据递推式可得出01背包问题的C语言实现代码：

int dp[MAXN][MAXW]; // dp[i][j]表示前i个物品中，放入容量为j的背包中的物品的最大价值

for (int i = 1; i <= n; i++)

{

for (int j = 0; j <= W; j++)

{

if (j < w[i]) dp[i][j] = dp[i-1][j];

else dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]]+v[i]);

}

}

三、完全背包问题的解法

完全背包问题同样可以使用动态规划来解决。设f(i,j)表示前i个物品中，放入容量为j的背包中的物品的最大价值，则有以下递推式：

f(i,j) = max{f(i-1,j-kwi)+kvi} (0 <= k*wi <= j)

其中，k表示第i个物品的数量。根据递推式可得出完全背包问题的C语言实现代码：

int dp[MAXW]; // dp[j]表示放入容量为j的背包中物品的最大价值

for (int i = 1; i <= n; i++)

{

for (int j = w[i]; j <= W; j++)

{

dp[j] = max(dp[j], dp[j-w[i]]+v[i]);

}

}

四、多重背包问题的解法

多重背包问题与完全背包问题类似，同样可以使用动态规划来解决。但由于多重背包问题中每个物品都有数量限制，因此递推式需要进行修改。设f(i,j)表示前i个物品中，放入容量为j的背包中的物品的最大价值，则有以下递推式：

f(i,j) = max{f(i-1,j-k*wi)+k*vi}(0 <= k <= mi and k*wi <= j)

其中，mi表示第i个物品的数量限制。根据递推式可得出多重背包问题的C语言实现代码：

int dp[MAXW]; // dp[j]表示放入容量为j的背包中物品的最大价值

for (int i = 1; i <= n; i++)

{

for (int k = 1; k <= m[i]; k++)

{

for (int j = W; j >= w[i]; j--)

{

dp[j] = max(dp[j], dp[j-w[i]]+v[i]);

}

}

}