线性规划问题化为标准形式例题

线性规划（linear programming）是运筹学领域的一个重要课题。它是一种数学模型，用于解决最大化或最小化线性函数在线性约束下的问题。在实际应用中，线性规划模型可以用来解决很多问题，如资源分配、投资决策、生产计划和物流优化等。本文将以一个线性规划问题的例子，介绍如何将其化为标准形式。

问题描述：

某公司可以生产两种产品：A和B。每个月生产的A和B的数量分别为x1和x2。每个月的工作时间为40个小时。生产A和B的每个单位分别需要2个和1个小时的工作时间。限制条件是每月最多可以生产160个A和200个B。每个单位的A和B可以卖出50元和30元。目标是最大化总收入。

问题分析：

这是一个典型的线性规划问题，需要分析以下几个方面。

1. 变量的定义：

定义变量x1和x2分别表示生产的A和B的数量。

2. 目标函数：

设f(x1,x2)为总收入，则目标函数为f(x1,x2)=50x1+30x2。

3. 约束条件：

A的生产需要2个小时，B的生产需要1个小时，因此40个小时的工作时间需要满足2x1+x2≤40。

A和B的生产分别有最大限制，即x1≤160、x2≤200。

4. 约束条件的标准化：

使用人工变量法将≤约束条件转化为等式和≥约束条件，得到：

2x1+x2+a1=40；x1+a2=160；x2+a3=200，并限制a1、a2、a3为非负变量。

5. 将目标函数标准化：

添加非负松弛变量s1、s2、s3，将目标函数改写为f(x1,x2)=50x1+30x2+0s1+0s2+0s3。

6. 示意形式：

综合以上分析，将原问题化为线性规划标准形式如下：

$\max f(x_1,x_2)=50x_1+30x_2$

$\begin{aligned} s.t. \\

2x_1+x_2+a_1+s_1=40 \\

x_1+a_2+s_2=160 \\

x_2+a_3+s_3=200 \\

x_1,x_2,s_1,s_2,s_3,a_1,a_2,a_3\geq 0\\

\end{aligned}$