完全二叉树的总结点数怎么算

完全二叉树是一种常见的二叉树结构，它具有很多优秀的性质，其中之一是其总结点数可以通过一些简单的方法计算出来。在本文中，我们将从多个角度来探讨完全二叉树的总结点数如何计算。

一、递归公式法

假设完全二叉树的深度为h，根节点到倒数第二层的节点中，每个节点都有两个子节点，而最后一层的节点可能只有一个或者没有子节点。我们可以根据这个特点，通过递归公式来计算完全二叉树的总结点数。

首先，对于只有根节点的情况，总结点数为1，即f(1)=1。

其次，假设完全二叉树的总结点数为f(h-1)，那么对于深度为h的完全二叉树，其总结点数为f(h-1)+(2^(h-1)-1)+1，其中f(h-1)表示深度为h-1的完全二叉树的总结点数，2^(h-1)-1表示深度为h-1的完全二叉树的总节点数，+1表示当前层的根节点。因此，完全二叉树的总结点数可以表示为f(h)=f(h-1)+(2^(h-1)-1)+1。

二、非递归公式法

在计算完全二叉树的总结点数时，我们可以使用一个非递归的公式，也就是2^h-1，其中h为完全二叉树的深度。我们可以通过以下步骤来证明这一公式的正确性。

首先，对于只有根节点的完全二叉树，深度为1，这种情况下，其总结点数为1 = 2^1-1。

其次，假设深度为h-1的完全二叉树的总结点数为2^(h-1)-1，对于深度为h的完全二叉树，它具有如下特点：

1. 最后一层的节点数为2^(h-1)，与深度为h-1的完全二叉树相同。

2. 根节点到深度为h-1的最后一层的节点之间，每个节点都有两个子节点。

3. 转化为一个满二叉树时，深度为h-1的完全二叉树可以作为深度为h-1的满二叉树的左子树。

因此，深度为h的完全二叉树的总结点数为左子树结点数2^(h-1)-1加上右子树的结点数x。根据上面的特点3，深度为h-1的完全二叉树可以作为深度为h-1的满二叉树的左子树，因此深度为h的完全二叉树可以认为是深度为h-1的满二叉树的右子树。由于深度为h-1的满二叉树的结点总数为2^(h-1)-1，所以深度为h的完全二叉树的总结点数为2^(h-1)-1+x+1=2^h-1。

因此，我们可以通过非递归公式2^h-1来计算完全二叉树的总结点数。

三、结论

综上所述，我们通过递归公式法和非递归公式法，可以分别计算出完全二叉树的总结点数。在实际编程中，我们可以根据具体情况选择合适的方法来计算总结点数。除此之外，我们还可以从完全二叉树的性质以及特点中，探讨其总结点数的计算。