二分查找最坏情况下的比较次数

二分查找（Binary Search）是一种经典的搜索算法，它可以在有序数组中查找某个指定的元素。其基本思想是：从中间元素开始查找，如果中间元素正好是要查找的元素，则查找成功；否则，如果某个方向上的元素小于或大于中间元素，则在该方向上继续查找；如果一直未找到，则说明该数组中不存在该元素。需要注意的是，二分查找只能在有序数组中使用。常见的二分查找算法包括非递归实现和递归实现。

然而，即使是这样简单而高效的算法，它最坏情况下的比较次数也是我们需要关注的。在本文中，我们将从多个角度分析二分查找最坏情况下的比较次数。

一、递归实现的二分查找

递归实现的二分查找首先需要考虑递归边界条件。当查找区间为空时，查找失败，返回-1；当查找区间只有一个元素，并且不等于要查找的元素x时，查找失败，返回-1；否则，继续查找。

递归实现的二分查找最坏情况下的比较次数取决于递归树的高度。考虑一个数组{1, 2, 3, …, n}，查找n+1这个元素，此时递归树的高度就是log(n+2)-1。因为树的高度是一个整数，因此可以用对数的整数部分k表示，即：

k = ⌊log(n+2)⌋ - 1

最坏情况下的比较次数为2k+1，即log2(n+1)+1。因此，递归实现的二分查找最坏情况下的比较次数为O(logn)。

二、非递归实现的二分查找

非递归实现的二分查找类似于递归实现的二分查找，只是把递归转化为循环。循环继续的条件是查找区间的左边界小于或等于右边界。在每次循环中，计算中间元素的下标mid，并与要查找的元素x进行比较，如果相等则直接返回mid；否则根据mid和x的大小关系更新查找区间。

最坏情况下的比较次数仍然是与递归树的高度相关。但是，与递归实现不同，非递归实现并不是对整个数组进行逐层划分，而是对一个较小的区间进行二分查找。因此，如果一开始的区间很小，那么即使查找失败，也只需要进行很少的比较次数。

三、最坏情况的实例

最坏情况指的是查找的元素在数组中不存在，且要查找的元素比数组中所有元素都大或都小。此时，无论是递归实现还是非递归实现，比较次数都达到了最大值。以递归实现的二分查找为例，当要查找的元素是数组中的最大元素时，递归树的高度就达到了最大值，比较次数为2k+1。

四、总结

本文从递归实现和非递归实现两个角度分析了二分查找算法最坏情况下的比较次数。递归实现的二分查找最坏情况下的比较次数为O(logn)，而非递归实现的二分查找的比较次数与初始查找区间的大小有关。最坏情况是要查找的元素比数组中所有元素都大或都小，并且查找失败。在实际应用中，我们需要根据具体情况选择适合的搜索算法，避免不必要的计算。