动态规划基本原理

动态规划是一种优化问题的算法，它通常用于解决最优化问题，比如在计算机算法中，用以求解最长公共子序列、背包问题、最短路径等。动态规划的基本思想是将大问题拆分成小问题来解决，然后将小问题的解组合成更大问题的解。在本文中，我将从多个角度分析动态规划的基本原理。

1. 数学原理

动态规划的数学原理主要基于重复子问题和最优子结构。重复子问题指的是在求解大问题时，可能多次求解相似的小问题，而最优子结构则是在组合小问题的解时，可以通过确定最优解来确定大问题的最优解。

2. 分治算法

动态规划和分治算法有些相似，但它们的不同之处在于，在分治算法中，每个子问题都只会被求解一次，而在动态规划中，相似的子问题会被求解多次并将它们的解存储在内存中。这种存储技术可以大大提高算法的效率，尤其是在递归算法中。

3. 最优子问题结构

最优子问题结构是动态规划算法中的关键点之一。它指的是在组合子问题解时可以通过确定最优解来得出大问题的最优解。在动态规划算法中，我们通常在计算小问题的最优解时，需要将小问题的解储存在内存中，以便在计算大问题的最优解时进行调用。这种存储技术通常称为“记忆化搜索”。

4. 递推算法

递推算法是动态规划算法的核心算法。其基本思路是：从小问题开始，根据子问题的解计算出大问题的解。这种计算方式通常称为“自底向上”或“逆向思维”。在计算大问题的解时，我们向上迭代，并将已经计算的子问题解存储在内存中以便后续使用。