最优二叉搜索树 动态规划讲解
二叉搜索树（Binary Search Tree）是一种常用的数据结构，它是一棵树，其中每个节点都有两个子节点，且左子树节点小于该节点，右子树节点大于该节点。这种树结构能够快速地进行搜索和插入操作，使得它被广泛地用于各种算法中。
然而，在实际应用中，由于数据分布的不均匀，可能会使得二叉搜索树不平衡，导致搜索和插入的时间复杂度失去优势，因此需要进行优化。最优二叉搜索树就是在保证平衡的情况下，最小化期望搜索次数的算法之一。
动态规划是解决最优二叉搜索树问题的基本方法。动态规划是一种将原问题分解成子问题进行求解的优化经典方法，其基本思想是：将大问题化成小问题来解决，维护一张表格，在计算阶段中保存上一阶段的计算结果，以减少重复信息的计算。下面我们来详细探讨最优二叉搜索树的动态规划算法。
一、问题描述
在一个二叉搜索树中，每个节点都有一个概率值（概率之和为1），对于一个搜索节点的值，如果查找到，则搜索的代价为该节点的概率乘以该节点的深度，如果没查找到，则代价为该节点的概率乘以深度加1。问题就是要找到一颗搜索树，使得所有节点的概率值在这颗树中存在，并且该树的期望搜索代价最小。
二、问题分析
由于最优二叉搜索树本身就保证要平衡，因此我们可以采用动态规划的方法来解决这个问题。定义两个表格，一个表格是P表格，记录节点的概率，另一个是W表格，记录期望搜索代价。我们通常以i和j表示子树的边界，如果i>j，则该子树为空。因此，对于一个以k为根节点，i到j为边界的子树，其期望搜索代价为：
W(i, j) = p(k) + W(i, k-1) + W(k+1, j)
其中，p(k)为节点k的概率。
但是，这并不能直接给出最优的搜索树。我们还需要定义一个C表格，来记录代价最小的二叉搜索树。
C(i, j)表示子树[i, j]的最优二叉搜索树的代价，其递推式为：
C(i,j) = min{C(i,r-1)+C(r+1,j)+W(i,j)} (i<=r<=j)
其中，C(i,r-1)和C(r+1,j)分别表示以r-1和r+1为边界的子树的最优二叉搜索树的代价。W(i,j)是指该子树的期望搜索代价。利用上述递推式，我们就能计算最优二叉搜索树的代价了。
三、动态规划算法
为了方便实现，我们将i和j改为从1开始。定义三个n*n的数组，分别表示P,W,C三个表格。因为C需要用到W，而W又需要用到P，因此我们需要按照一定的次序进行计算。
首先，填充P表格，P[i,i]为i节点的概率，$P[i,j]$为节点i到节点j的概率和，即$P[i,j] = \sum_{k=i}^{j}p[k]$。
接着，计算W表格。W[i,j]表示以i到j为节点的子树的期望搜索代价。根据前面推导的式子，我们可以得到W的递推式：
```Python
for s in range(n+1):
for i in range(1, n-s+2):
j = i + s - 1
if i == j:
W[i][j] = P[i][j]
else:
W[i][j] = W[i][j-1] + P[i][j] + W[i][j-1] - P[i][j-1] + P[j][j]
```
最后，根据C的递推式进行计算。首先将C[i][i-1]和C[i][i]初始化为0，表示树为空。然后从i=1开始递推计算。在每一个i和j下，进行k的循环，求出最优的根节点k，并计算C[i][j]:
```Python
for s in range(n+1):
for i in range(1, n-s+2):
j = i + s - 1
if i > n or j > n:
continue
if i == j:
C[i][j] = P[i][j]
else:
minimum = float('inf')
for k in range(i, j+1):
tmp = C[i][k-1] + C[k+1][j] + W[i][j]
if tmp < minimum:
minimum = tmp
C[i][j] = minimum
```
最后，C[1][n]即为所求的最优二叉搜索树的代价。
四、总结
最优二叉搜索树问题通过动态规划的算法得以解决，它利用维护一张表格，以避免重复的计算，从而减少了时间复杂度。在二叉搜索树的优化中，该算法能够保证二叉搜索树的平衡的同时，使期望搜索代价最小化。其实现过程相对简单，代码也较短，但需要仔细思考每个表格的定义和计算方式，才能正确地得出答案。
