运筹学动态规划例题及答案

运筹学是一门与决策制定，资源分配和工业和商业运营相关的学科。在运筹学中，动态规划是一种重要的算法，常用于解决最优化问题。本文将以一道例题为例，从多个角度分析动态规划的应用。

例题描述：有一个容量为C的背包，和n个物品，每个物品有一个重量w和一个价值v。要在不超过容量的限制下，使得装进背包的物品价值最大。假设有5个物品，其重量和价值如下表所示：

| 物品编号 | 重量w | 价值v |

| -------- | ----- | ----- |

| 1 | 1 | 25 |

| 2 | 2 | 27 |

| 3 | 3 | 26 |

| 4 | 4 | 20 |

| 5 | 5 | 30 |

1. 分析

该问题可以通过动态规划算法解决，具体步骤如下：

- 定义状态：设dp(i,j)表示只有前i个物品可以放入容量为j的背包时的最大价值。

- 状态转移方程：dp(i,j) = max(dp(i-1,j), dp(i-1,j-w(i))+v(i))，其中w(i)和v(i)分别表示第i个物品的重量和价值。当第i个物品的重量大于j时，不能放入背包，因此dp(i,j) = dp(i-1,j)。

- 边界条件：dp(0,j) = 0，dp(i,0) = 0。

- 目标状态：dp(n,C)。其中n表示物品的数量，C表示背包容量。

2. 解答

根据上述分析，可以得出下表，表示dp(i,j)的值：

| i\j | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |

| ------- | ----- | ----- | ----- | ----- | ----- | ----- |

| **0** | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |

| **1** | 0 | 25 | 25 | 25 | 25 | 25 |

| **2** | 0 | 25 | 27 | 52 | 52 | 52 |

| **3** | 0 | 25 | 27 | 53 | 78 | 78 |

| **4** | 0 | 25 | 27 | 53 | 78 | 80 |

| **5** | 0 | 25 | 27 | 53 | 78 | 105 |

因此，当n=5，C=5时，可以得出最大价值为105，对应的物品为2、3、5。

3. 总结

通过上述例题，可以看出动态规划在解决最优化问题时具有很强的实用性。在实际应用中，需要注意以下几点：

- 定义好状态，找到合适的状态表示方法。

- 求解状态之间的关系，找到状态转移方程。

- 理解好边界条件，不要发生数组越界等问题。

- 每个状态都必须被考虑到，即所有的状态都要在转移方程中体现出来。

最后，需要指出的是，除了动态规划以外，还有许多其他的算法可以解决最优化问题，需要根据实际问题的具体情况选择合适的算法。