二分查找的简单例题笔算
二分查找算法是一种在有序数组中查找目标值的常见算法。相比于线性查找算法，它的时间复杂度更低，因此在查找大规模数据时表现得更高效。今天我们来看一个简单的例子，通过手算过程来更好地理解这一算法。
例题：在有序数组 [1, 3, 5, 7, 9, 11] 中查找数字 7。
第一步：取数组中间值
首先我们需要取数组中间值，即值为 5 的元素。因为有序数组中间值的位置比较靠近目标值，因此我们可以通过比较目标值和中间值的大小关系来判断目标值在左半部分还是右半部分。在本例中，目标值 7 大于中间值 5，因此目标值必然位于数组的右半部分。
第二步：取右半部分的中间值
在右半部分中我们再次取中间值，即值为 9 的元素。同样地，我们可以比较目标值和中间值的大小关系，确定目标值在左半部分还是右半部分。在本例中，目标值 7 小于中间值 9，因此目标值必然位于数组的左半部分。
第三步：取左半部分的中间值
在左半部分中我们取中间值，即值为 3 的元素。同样地，通过比较目标值和中间值的大小关系，我们可以确定目标值在左半部分还是右半部分。在本例中，目标值 7 大于中间值 3，因此目标值必然位于值为 7 的元素的右侧。
第四步：查找目标值的位置
在值为 7 的右侧我们只有一个元素，即值为 9 的元素。因为我们知道目标值 7 是在值为 9 的元素的左侧，因此它只可能出现在值为 7 和值为 9 的元素之间。因此我们最终可以得出，在数组 [1, 3, 5, 7, 9, 11] 中目标值 7 位于第 4 个位置。
以上就是使用二分查找算法查找目标值的过程。接下来，我们从不同角度分析这一算法的性质和使用方法。
1. 时间复杂度
二分查找算法的时间复杂度为 O(log n)，其中 n 是数组的长度。因为每次查找都会将查询区间缩小一半，因此最多需要进行 log n 次查找。相比于线性查找算法的时间复杂度 O(n)，二分查找算法在处理大规模数据时表现得更加高效。
2. 实现方式
二分查找算法可以使用递归或循环的方式实现。递归实现的代码简洁易懂，但因为每次递归都需要调用函数，因此空间复杂度较高。循环实现的代码稍微冗长，但因为不需要调用函数，因此空间复杂度较低。根据具体情况，我们可以选择适合自己的实现方式。
3. 特殊情况
需要注意的是，二分查找算法只能在有序数组中查找目标值。如果数组是无序的，我们需要先对数组进行排序，再使用二分查找算法。另外，在数组中查找目标值时，如果目标值不在数组中，我们需要添加错误处理代码以避免出现错误结果。
