后序遍历的第一个节点
后序遍历是二叉树遍历的一种方式，其遍历的顺序是先遍历左子树，再遍历右子树，最后遍历根节点。如果我们把一棵二叉树按照后序遍历的方式走一遍，那么最后遍历到的节点就是后序遍历的第一个节点。
在本文中，我们将从以下几个角度来分析后序遍历的第一个节点：后序遍历的定义、后序遍历的应用、如何在二叉树中找到后序遍历的第一个节点以及如何在程序中实现查找。
一、后序遍历的定义
后序遍历是一种二叉树遍历的方式，其遍历顺序是先遍历左子树，再遍历右子树，最后遍历根节点。具体地，假设有一棵二叉树，其节点定义为：
struct TreeNode {
int val;
TreeNode *left;
TreeNode *right;
TreeNode(int x) : val(x), left(NULL), right(NULL) {}
};
那么按照后序遍历的方式遍历这棵树的代码可以写成：
void postorderTraversal(TreeNode* root) {
if (root == NULL) {
return;
}
postorderTraversal(root->left);
postorderTraversal(root->right);
visit(root);
}
其中，visit(root)表示访问根节点root。
二、后序遍历的应用
后序遍历作为一种二叉树的遍历方式，在计算机科学中有广泛的应用。其中最主要的应用之一是表达式树的求值。当我们将一个中缀表达式转换成表达式树之后，我们可以按照后序遍历的方式遍历表达式树，并将表达式的值求出来。
例如，对于中缀表达式 "3 + 4 * 2 / (1 - 5) ^ 2 ^ 3"，我们可以将其转换成表达式树如下所示：
" "
/ \
/ \
/ \
/ \
+ -
/ \ / \
3 * 1 ^
/ \ / \
4 2 5 2
/ \
3 1
然后，按照后序遍历的方式遍历表达式树，我们可以得到求值结果为0.000122.
三、如何在二叉树中找到后序遍历的第一个节点
我们知道，按照后序遍历的方式遍历二叉树的最后一个节点必定是根节点。因此，如果我们要找到后序遍历的第一个节点，只需要反向思考，即若能找到后序遍历最后遍历到的节点，那么它的前一个节点就是后序遍历的第一个节点。
那么如何找到后序遍历最后遍历到的节点呢？我们可以使用一个栈来记录后序遍历过程中遍历过的节点。具体地，对于每个节点，我们先将其入栈，然后按照“左子树->右子树->根节点”的顺序遍历完整棵树。在遍历到一个节点时，我们将其弹出栈，并记录当前节点的右子树是否已经被遍历过。如果右子树已经被遍历过，那么当前节点就是后序遍历最后遍历到的节点。否则，我们需要遍历当前节点的右子树。
代码如下：
TreeNode* findLastNodeOfPostorderTraversal(TreeNode* root) {
if (root == NULL) {
return NULL;
}
stack
s.push(root);
TreeNode* last = NULL;
TreeNode* prev = NULL;
while (!s.empty()) {
TreeNode* curr = s.top();
if (prev == NULL || prev->left == curr || prev->right == curr) {
if (curr->left != NULL) {
s.push(curr->left);
} else if (curr->right != NULL) {
s.push(curr->right);
} else {
last = curr;
s.pop();
}
} else if (curr->left == prev) {
if (curr->right != NULL) {
s.push(curr->right);
} else {
last = curr;
s.pop();
}
} else if (curr->right == prev) {
last = curr;
s.pop();
}
prev = curr;
}
return last;
}
四、如何在程序中实现查找后序遍历的第一个节点
根据上面的方法，我们可以在二叉树中找到后序遍历的第一个节点。具体地，在C++中，我们可以使用上面的代码实现，如下所示：
TreeNode* firstNodeOfPostorderTraversal(TreeNode* root) {
TreeNode* last = findLastNodeOfPostorderTraversal(root);
if (last == NULL) {
return NULL;
}
stack
s.push(root);
while (!s.empty()) {
TreeNode* curr = s.top();
if (curr == last) {
break;
}
if (curr->right != NULL) {
s.push(curr->right);
}
if (curr->left != NULL) {
s.push(curr->left);
}
}
return s.top();
}
该函数的核心思想是：先找到后序遍历最后遍历到的节点，然后从根节点开始遍历二叉树，直到遍历到最后遍历的节点，返回它的前一个节点。注意：如果二叉树中只有一个节点，那么该节点既是后序遍历的第一个节点，也是后序遍历的最后一个节点。
