方差的计算公式及例题讲解

方差是统计学中一项非常重要的概念，它是用来衡量数据分布的离散程度，也是许多统计分析和假设检验的基础。本文将从理论、计算公式以及实际例题三个角度，为读者详细讲解方差的相关概念和计算方法。

1. 理论基础

方差是衡量数据分布的一种离散程度，并且是样本与总体差异的平均值的一种度量。如果所有的数据都聚集在一起，那么方差就为0；如果数据分散得很广，那么方差就越大。方差的计算方法是将每个数据值与数据集的平均值之差的平方求和，然后除以数据集的长度。这个计算方法的目的是为了消除数据之间的正负差异，从而得到一个刻画整个数据集分布范围的平均分散程度。

2. 计算公式

方差的计算公式如下：

$$s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n-1}$$

其中，s表示样本方差，$\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$表示样本中每个数据值与样本均值之差的平方和，n表示样本数，$\bar{x}$表示样本的均值。

如果我们要计算总体方差，则公式略有不同：

$$\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2}{N}$$

其中，$\sigma^2$表示总体方差，$\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2$表示总体中每个数据值与总体均值之差的平方和，N表示总体样本数，$\mu$表示总体均值。

3. 实际例题

下面，我们通过一个具体的例子来演示如何计算样本方差。

假设有以下数据集：12, 15, 18, 19, 20, 21, 24, 26, 28, 31。首先我们需要计算其均值，即

$$\bar{x}=\frac{12+15+18+19+20+21+24+26+28+31}{10}=21.4$$

然后，我们将每个数据值与均值之差的平方求和，得到

$$(12-21.4)^2+(15-21.4)^2+\cdots+(31-21.4)^2=570.6$$

最后，我们将这个结果除以样本数减1，得到样本方差：

$$s^2=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n-1}=\frac{570.6}{9}=63.4$$

因此，这组数据的样本方差为63.4。