同或和异或的运算 对偶

布尔代数中的两种运算——同或和异或，因其在电路设计和计算机科学等领域的广泛应用，备受关注。本文将从定义、性质、规律等方面，探讨同或和异或运算的对偶关系。

一、定义

1. 同或（XNOR）：同为1，结果为1；有一个0，结果为0。

符号：⊙或=

真值表：

| a | b | a⊙b |

| 0 | 0 | 1 |

| 0 | 1 | 0 |

| 1 | 0 | 0 |

| 1 | 1 | 1 |

2. 异或（XOR）：不同为1，相同为0。

符号：⊕

真值表：

| a | b | a⊕b |

| 0 | 0 | 0 |

| 0 | 1 | 1 |

| 1 | 0 | 1 |

| 1 | 1 | 0 |

二、性质

1. 互为逆运算：即a⊕b⊕b=a和a⊙b⊙b=a。

证明：

a ⊕ b ⊕ b = (a ⊕ b) ⊕ b = a ⊕ (b ⊕ b) = a ⊕ 0 = a

a ⊙ b ⊙ b = (a ⊙ b) ⊙ b = a ⊙ (b ⊙ b) = a ⊙ 1 = a

2. 分配律和结合律不成立：即(a⊕b)⊙c ≠ a⊕(b⊙c)和a⊕(b⊕c) ≠ (a⊕b)⊕c。

证明：

(a ⊕ b) ⊙ c = ((a ⊕ b) ⊙ c) ⊕ (a ⊕ b) ⊙ (c ⊕ c)

= (a ⊙ c) ⊕ (b ⊙ c) ⊕ (a ⊙ b ⊙ c)

a ⊕ (b ⊙ c) = a ⊕ (b ⊕ c) ⊙ b ⊙ c

= (a ⊕ b ⊕ c) ⊙ (a ⊙ (b ⊕ c)) ⊙ (b ⊙ (a ⊕ c))

a ⊕ (b ⊕ c) = (a ⊕ b) ⊕ c ≠ (a ⊕ b) ⊙ c

(a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ b ⊕ c ≠ a ⊕ (b ⊙ c)

3. 对称性：即a⊕b=b⊕a和a⊙b=b⊙a。

证明：

a ⊕ b = b ⊕ a

a ⊙ b = b ⊙ a

三、规律

1. 同或在逻辑中常用来判定两个命题是否等价。若命题p和命题q等价，则p和q的真值表应该相同，此时p⊙q的结果为1。

2. 异或可以看成是二进制加法中不带进位的相加。例如，5 ⊕ 3 = 6，即十进制中的5 + 3 = 8（进位被省略）。此外，异或还有许多有趣的性质和应用，如哈希函数、线性反馈移位寄存器（LFSR）等。

3. 以上两种运算均可以用奇偶性解释。对于一个二进制串，同或运算结果为1，当且仅当其中的1的个数是偶数；异或运算结果为1，当且仅当其中的1的个数是奇数。

四、对偶

在布尔代数中，对偶法则是将逻辑表达式中的“与”换成“或”，“或”换成“与”，每个变量的“0”和“1”也都相互交换的操作。因为同或是异或的逆运算，两者也存在一种对偶的关系。

1. 对于表达式F：

F = a ⊕ (b ⊕ c)

通过对偶法则，可以将其转换为同等的表达式：

F' = (a ⊙ b) ⊙ (a ⊙ c) ⊕ a

2. 对于表达式F：

F = a ⊙ (b ⊕ c)

使用对偶法则，可以得到：

F' = (a ⊕ b) ⊕ (a ⊕ c)

由此可见，同或的对偶是异或，异或的对偶是同或。