矩阵的定义和运算
矩阵是数学中的一个重要概念，它是由数按照一定规律排列成的矩形阵列，是数学中矢量、线性方程组、线性变换等问题的基础工具。在矩阵的定义和运算中，我们要从多个角度来考虑。
一、矩阵的定义
定义一：矩阵是由m行n列数所构成的矩形排成的数表，称为m行n列的矩阵，记作$A_{m*n}$。
例如，下面是一个3行2列的矩阵：
$$
A=\begin{pmatrix}
1&2 \\
3&4 \\
5&6 \\
\end{pmatrix}
$$
定义二：矩阵还可以表示为一个数域上的线性变换的矩阵。
例如，下面是三维空间中的一组基底$\{\boldsymbol{i},\boldsymbol{j},\boldsymbol{k}\}$，以及一个向量$\boldsymbol{v}$:
$$
\boldsymbol{i}=\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
0 \\
\end{pmatrix},
\boldsymbol{j}=\begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
0 \\
\end{pmatrix},
\boldsymbol{k}=\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1 \\
\end{pmatrix},
\boldsymbol{v}=\begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
3 \\
\end{pmatrix}
$$
则$\boldsymbol{v}$可以表示为$\boldsymbol{v}=1\boldsymbol{i}+2\boldsymbol{j}+3\boldsymbol{k}$，进一步地，我们可以把向量$\boldsymbol{v}$表示为矩阵$A$与基底矩阵$B$的乘积:
$$
A=\begin{pmatrix}
1&2&3 \\
\end{pmatrix},
B=\begin{pmatrix}
1&0&0 \\
0&1&0 \\
0&0&1 \\
\end{pmatrix},
AB=\begin{pmatrix}
1&2&3 \\
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1&0&0 \\
0&1&0 \\
0&0&1 \\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1&2&3 \\
\end{pmatrix}=A
$$
二、矩阵的运算
矩阵的运算包括加法、数乘和乘法。
1.加法
矩阵的加法定义为：若有两个矩阵$A_{m*n}$和$B_{m*n}$，则它们的和$C_{m*n}$为每个元素之和，即$C_{ij}=A_{ij}+B_{ij}$。
例如，下面是两个3行2列的矩阵$A$和$B$的和：
$$
A=\begin{pmatrix}
1&2 \\
3&4 \\
5&6 \\
\end{pmatrix},
B=\begin{pmatrix}
7&8 \\
9&10 \\
11&12 \\
\end{pmatrix},
A+B=\begin{pmatrix}
8&10 \\
12&14 \\
16&18 \\
\end{pmatrix}
$$
2.数乘
数乘定义为：若有数$k$和矩阵$A_{m*n}$，则它们的积$B_{m*n}$为$kA_{ij}$。
例如，下面是一个3行2列的矩阵$A$和数$k=2$的积：
$$
A=\begin{pmatrix}
1&2 \\
3&4 \\
5&6 \\
\end{pmatrix},
2A=\begin{pmatrix}
2&4 \\
6&8 \\
10&12 \\
\end{pmatrix}
$$
3.乘法
矩阵的乘法在定义上稍微有点复杂。若有两个矩阵$A_{m*p}$和$B_{p*n}$，它们的积$C_{m*n}$为：
$$
C_{ij}=\sum_{k=1}^pA_{ik}B_{kj}
$$
即$C$的第$i$行第$j$列元素为$A$的第$i$行的元素与$B$的第$j$列的元素逐一相乘并累加。注意，只有当$A$的列数等于$B$的行数时，它们才可以相乘，结果矩阵的尺寸为$A$的行数和$B$的列数。
例如，下面是一个2行3列的矩阵$A$和一个3行2列的矩阵$B$的积：
$$
A=\begin{pmatrix}
1&2&3 \\
4&5&6 \\
\end{pmatrix},
B=\begin{pmatrix}
7&8 \\
9&10 \\
11&12 \\
\end{pmatrix},
AB=\begin{pmatrix}
58&64 \\
139&154 \\
\end{pmatrix}
$$
再例如，我们回到定义二中的例子，用矩阵乘法表示向量的线性变换：
$$
\boldsymbol{v}=\begin{pmatrix}
1&2&3 \\
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1&0&0 \\
0&1&0 \\
0&0&1 \\
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
3 \\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
3 \\
\end{pmatrix}
$$
可以发现，这个结果还是向量$\boldsymbol{v}$本身。
