循环码的校验矩阵怎么求

循环码是一种优秀的纠错码，它通过在编码时加入一定的冗余信息，以此来检验和纠正接收端产生的错误信息。在循环码中，校验矩阵是非常重要的一个组成部分，它是校验码的生成单位，校验码的正确性与校验矩阵密切相关。那么，循环码的校验矩阵怎么求呢？本文从多个角度分析，为大家做出详细的解答。

一、循环码的校验矩阵概述

在循环码中，通常采用生成矩阵G进行编码，而校验矩阵则是从生成矩阵G中导出的。如果生成矩阵G的大小为k*n，那么校验矩阵H的大小为(n-k)*n。它们之间的关系为H=[-R^T,I]，其中R表示生成矩阵G的非零列组成的矩阵，I表示单位矩阵，^T表示转置。校验矩阵H的作用是：检测接收端接收的数据是否出现了错误。

二、线性循环码的校验矩阵求法

线性循环码是指如果对于任意两个码字c1和c2在模2的意义下做加减，得到的结果仍然是一个码字，那么这个码就是一个线性码。因此，校验矩阵也是由线性码的一个基底导出的。具体来说，假设线性码的大小是k*n，它的一个基底为c1,c2,...,ck，则校验矩阵可以通过下式计算得出：

c1^T

c2^T

H=[ - …… ]

ck^T

I

其中，c1^T,c2^T,...,ck^T表示基底矩阵的转置。这个结果的正确性可以通过验证H·G^T=0这个方程来检验，如果方程的结果为0，则说明该校验矩阵H是正确的。

三、非线性循环码的校验矩阵求法

对于非线性循环码，它的基底由一组线性无关多项式构成。根据线性无关的定义，它们不能表示为其它多项式的线性组合。因此，我们无法直接利用基底来计算校验矩阵，但可以采用其他方式来求解校验矩阵。

一种可行的方法是采用半增广矩阵P来求解。半增广矩阵P构造如下：

G

P=[ -I ]

其中，G表示生成矩阵，I表示单位矩阵，-I表示用0补充后半部分。由于非线性循环码仍然具有循环不变性，因此我们可以把循环码看成是一个变量x的多项式f(x)除以生成多项式g(x)，即f(x) = q(x)·g(x) + r(x)。由于循环码是多项式的周期延拓，因此可以在方程两边同时乘上x^n得到：

f(x)·x^n

x^n·f(x) = q(x)·x^n·g(x) + x^n·r(x)

进一步可以得到：

[x^n·f(x)] mod g(x) = [q(x)·x^n·g(x) + x^n·r(x)] mod g(x)

对于左边的式子，它的本质是把循环码看成是一个长度为2n-1的向量。我们可以把它拆分成两部分，第一部分是循环码的后n-1个元素，第二部分是前n个元素。根据非线性循环码的定义，这两部分在模2意义下是相等的。因此，我们可以将方程转换成一个结果更清晰明了的形式：

[x^n·f(x)] mod g(x) = [r(x)·x^n] mod g(x)

H·P^T = 0

其中，H表示非线性码的校验矩阵，P表示半增广矩阵，^T表示矩阵的转置。

综上所述，校验矩阵是循环码中非常重要的组成部分。它通过检验接收端接收的数据是否出现了错误，来保证数据传输的准确性和可靠性。对于线性循环码，可以通过基底来计算校验矩阵；对于非线性循环码，由于基底不是常规的线性无关基底，因此需要采用半增广矩阵的求解方式。了解循环码校验矩阵求解的方法和原理，对于工程实践及学术研究都具有重要意义。