动态规划例题详解

动态规划是一种高效的算法思想，常见于解决优化问题、最大最小值问题、最长公共子序列等问题。本文将以解决最长递增子序列问题为例，从多个角度详细讲解动态规划算法的具体过程。

问题描述：

给定一个序列D（长度为n），我们要求一个最长非降子序列，即该序列严格单调递增或相等。例如，对于序列D={1, 5, 3, 4, 6, 9, 7, 8}，一个最长非降子序列为{1, 3, 4, 6, 7, 8}。

解法分析：

1.定义状态：

令dp[i]为以D[i]为结尾的最长非降子序列的长度。例如，当D[i]=6时，最长的非降子序列为{1, 3, 4, 6}（长度为4），则dp[4]=4。

2.状态转移：

接下来考虑状态转移方程，即如何推出dp[i]。我们需要枚举序列前面的所有数字，看能否接在这些数字之后形成更长的非降子序列。因此，状态转移方程可以表示为：

dp[i] = max{dp[j] + 1}，其中j < i 且 D[j] <= D[i]

解释一下：dp[j]表示以D[j]为结尾的最长非降子序列的长度，由于要保证非降，因此只有当D[j] <= D[i]时，才能将D[i]加入以D[j]结尾的序列形成更长的非降子序列。

3.求解目标：

该问题的目标是求一个最长的非降子序列，因此，我们需要再次遍历dp数组，选出最大的一个值，即为所求解，具体实现可以参考以下代码：

def lengthOfLIS(nums: List[int]) -> int:

dp = [1] * len(nums)

for i in range(1, len(nums)):

for j in range(i):

if nums[j] <= nums[i]:

dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)

return max(dp)

经过动态规划算法之后，问题得到了很好的解决，而且时间复杂度为O(n^2)，可以满足实际应用的要求。

总结：

本文以求解最长递增子序列问题为例，讲解了动态规划算法的具体实现过程。在实际应用中，动态规划算法可以解决许多问题，例如最大子列和、最优二叉搜索树、最长公共子序列等等。需要注意的是，在使用动态规划算法时，我们需要考虑到状态的定义、状态转移方程和求解目标等问题。希望本文能够对读者理解和掌握动态规划算法提供帮助。