最小生成树的例题及答案
最小生成树是一个在网络优化问题中经常被使用的算法,它是一种用于求解加权连通图的最小生成树的算法。
有两种经典的算法可以用于构建最小生成树,即 Kruskal 算法和 Prim 算法。在本文中,我们将介绍一个例题,并演示如何使用这些算法来求解它。
例题描述
在以下无向图中,边的权重表示两个顶点之间的距离。使用 Kruskal 算法和 Prim 算法分别求出该图的最小生成树。
![image](https://user-images.githubusercontent.com/43070624/128800215-1fc6ce5f-6d4c-4159-a2c7-a1547cd53e63.png)
解题过程
Kruskal 算法
Kruskal 算法是基于贪心的思想,它通过将边按照权重从小到大排序,然后逐个加入生成树的方法来构建最小生成树。具体的过程如下:
1. 把所有的边按照权值从小到大排序。
2. 按照排序后的顺序,依次考虑每一条边。
3. 如果这条边连接的两个顶点不在同一个连通块中,将它们合并到同一个连通块中,并将这条边加入生成树。
4. 重复步骤 3,直到生成树中有 n-1 条边为止。
使用 Kruskal 算法求解该题的具体步骤如下:
1. 将所有边按照权值从小到大排序,得到如下结果:
(E, C) 2
(A, C) 4
(A, D) 5
(B, C) 6
(C, F) 8
(D, E) 9
(C, E) 10
(F, G) 12
(D, G) 15
2. 从权值最小的边(E, C)开始,将它加入生成树;
3. 此时连通块为 {C, E}; 接着加入 (A, C) 与(A, D), 连通块变为 {A, C, D, E} ;
4. 加入 (B, C), 连通块变为{A, B, C, D, E};
5. 加入 (C, F),连通块变为 {A, B, C, D, E, F};
6. 加入 (D, E),连通块不变,生成树变为:{(E, C), (A, C), (A, D), (B, C), (C, F), (D, E)}。
7. 加入 (C, E),连接两个连通块,此时连通块变为{A, B, C, D, E, F, G};生成树变为{(E, C), (A, C), (A, D), (B, C), (C, F), (C, E)};
8. 加入最后一条边 (D, G),生成树变为{(E, C), (A, C), (A, D), (B, C), (C, F), (C, E), (D, G)}。
此时,我们得到了该图的最小生成树。它的权值是 46。
Prim 算法
Prim 算法也是一种贪心算法。但是,不同于 Kruskal 算法,Prim 算法在处理边的时候是以顶点为基础的。具体过程如下:
1. 选择一个任意的起始顶点,并将其加入生成树中。(通常选择第一个顶点)
2. 将这个顶点的所有边按照权值从小到大排序,然后选取一条权值最小的边,并将连接到的顶点加入到生成树中。
3. 重复步骤 2 直到生成树中含有 n 个顶点为止。
同样,我们使用 Prim 算法求解该题的具体步骤如下:
1. 从顶点 A 开始,选择一个任意的起始顶点,将其加入到生成树中。
2. 将与顶点 A 相邻的边按照权值从小到大排序, 得到 (A, C) 4 和 (A, D) 5。
3. 选择权值最小的边 (A, C) , 并将顶点 C 加入到生成树中。
4. 将与顶点 C 相邻的边按照权值从小到大排序,得到 (C, E) 10 和 (C, B) 6。
5. 选择权值最小的边 (C, B) , 并将顶点 B 加入到生成树中。
6. 将与顶点 B 相邻的边按照权值从小到大排序,得到 (B, C) 6 和 (B, F) 7。
7. 选择权值最小的边 (B, C) , 并将顶点 E 加入到生成树中。
8. 将与顶点 E 相邻的边按照权值从小到大排序,得到 (E, C) 2,(E, D) 9和(E, F) 8。
9. 选择权值最小的边 (E, C) , 并将顶点 F 加入到生成树中。
10. 将与顶点 F 相邻的边按照权值从小到大排序,得到 (C, F) 8和(F, G) 12。
11. 选择权值最小的边 (C, F) , 并将顶点 G 加入到生成树中。
此时,我们同样得到了该图的最小生成树。它的权值是 46。