正规矩阵的性质及证明

矩阵是线性代数的基础，正规矩阵则是其中一类比较特殊的矩阵类型。在本文中，我们将对正规矩阵的性质及其证明展开分析，从多个角度介绍这一矩阵类型的特点和应用。

首先，我们来定义正规矩阵。一个矩阵A称为正规矩阵，当且仅当它和它的共轭转置矩阵A*满足交换律：AA*=A*A。也就是说，正规矩阵的特点就是它与它的转置共轭矩阵相乘的结果等于它的转置共轭矩阵与它相乘的结果。下文我们将简称其为“正规性”。

正规矩阵的一个重要性质就是正规性保持了矩阵的“真实谱分解”。也就是说，任何一个正规矩阵都能够表示为一组特征向量的线性组合。特征向量是指在矩阵相乘之后，有一个常数倍数与它本身相等的向量。这个性质对于理解正规矩阵的应用至关重要。

在矩阵数学中，正规矩阵也被称为“谱定理的压极”（spectral theorem prime），这是因为正规性使得其谱的数量少于非正规矩阵。

此外，正规矩阵还具有许多其他特性。以下是一些重要的性质及其证明：

1. 正规矩阵具有可对角化性

正规矩阵不仅具备矩阵可对角化条件的充分性，而且还具有充要条件。也就是说，任何一个正规矩阵都可以被相似对角化。证明如下：

对于n阶正规矩阵A，存在n阶酉矩阵P，使得$A=PDP^*$，其中D为对角元素矩阵。

再对上式两边同时左乘P*，得到$D=P^*AP$，也就是说，D是一个酉矩阵，因此可对角化。

所以，任何一个正规矩阵都可以被相似对角化。

2. 正规矩阵的特征值模长相等

对于一个正规矩阵A，它的特征值的模长相等。证明如下：

对于矩阵A，其特征值和特征向量满足下面的方程式：

$Ax=\lambda x$

在两端同时乘上$x^*$，得到：

$x^*Ax=\lambda x^*x$

再乘上$x$的共轭，得到：

$\bar{\lambda}x^*x=x^*A^*x$

由于A是正规矩阵，因此有$A^*=A^T$。因此有：

$\bar{\lambda}x^*x=x^*Ax$

两端同时取模长，得到：

$|\lambda||x|^2=|x|^2|\lambda|$

可知$|\lambda|$相等。

因此，正规矩阵的特征值的模长相等。

3. 正规矩阵互相可交换

若A和B均为正规矩阵，则它们互相可交换。证明如下：

首先，对于A和B，有$AB=BA$。

由于A和B都是正规矩阵，因此有：

$A^*A=AA^*,\ B^*B=BB^*$

对上式两边同时左乘A，则有：

$A^*AB=AA^*B$

因为$AA^*=A^*A$，所以：

$A^*AB=A^*BA$

因此有$A^*(AB-BA)=0$

由于A是正规矩阵，因此它是非奇异的，所以：

$AB=BA$

可证明A和B互相可交换。

总之，正规矩阵是一种特殊的矩阵类型，具有许多重要的性质和应用。如：保持“真实谱分解”、可对角化、特征值模长相等、互相可交换等。对于研究矩阵的性质和应用，理解正规矩阵将会非常有帮助。