折半查找法平均查找长度怎么算

折半查找法是一种常用的查找算法，也称为二分查找法。该算法基于有序数组，通过将查找区间折半进行缩小，以找到目标元素的位置。然而，在实际使用过程中，我们还需要知道该算法的平均查找长度是如何计算的。

一、折半查找法的原理

折半查找法的基本思想是将查找区间不断缩小，直到找到目标元素或者查找区间为空为止。该算法的基本步骤如下：

1. 初始化左右边界，即left=0， right=n-1（n为数组长度）。

2. 循环查找，当left<=right时，执行以下步骤：

a. 计算中间位置mid=(left+right)/2，取整。

b. 如果查找的元素等于中间位置的元素，那么直接返回mid。

c. 如果查找的元素小于中间位置的元素，那么将右边界right更新为mid-1。

d. 如果查找的元素大于中间位置的元素，那么将左边界left更新为mid+1。

3. 如果查找区间为空，即left>right时，返回-1。

二、折半查找法的平均查找长度

平均查找长度是指查找过程中访问了多少个数据元素的平均值。在折半查找法中，平均查找长度可以通过以下公式计算：

ASL = log2(n+1)-1

其中，n为数组长度，ASL为平均查找长度。该公式的推导过程如下：

1. 对于长度为n的有序数组，折半查找法的最坏情况是查找失败，需要进行n次比较。

2. 折半查找法的平均查找长度等于每个元素的查找长度的总和除以元素个数。

3. 假设查找每个元素的概率相等，即1/n。

4. 对于一个元素，其查找长度可以由其在查找区间中的出现位置决定，假设出现在第k个位置，则查找长度为log2(k+1)。

5. 由于每个元素可能出现在k个位置，所以该元素的平均查找长度为：1/n * (log2(1+1) + log2(2+1) + ... + log2(n+1))。

6. 所有元素的平均查找长度为：ASL = 1/n * (log2(1+1) + log2(2+1) + ... + log2(n+1))。

7. 由数学归纳法可证明：log2(1+1) + log2(2+1) + ... + log2(n+1) = log2((n+1)!)。

8. 故ASL = 1/n * log2((n+1)!)。

9. 利用斯特林公式，可以将ASL进一步简化为：ASL = log2(n+1)-1。

三、折半查找法的优缺点

1. 优点：

a. 在有序数组中进行查找效率高。

b. 对内存的要求低。

2. 缺点：

a. 只适用于有序数组，如果数组无序，需要先排序。

b. 对于插入、删除操作，需要维护有序性，操作效率较低。

c. 数组长度改变时，需要重新构建查找表。