0-1背包问题动态规划算法

背包问题（Knapsack problem）是一个经典的问题。其基本形式包含一个固定大小的背包和一些物品，每个物品有一个重量和一个价值。问题是如何选择哪些物品放入背包中，使得物品的总价值最大，且总重量不超过背包容量。而0-1背包问题是背包问题的一种特殊情况，即每个物品要么全部装进背包，要么全部不装。以下将介绍0-1背包问题动态规划算法及其实现。

一、动态规划算法概述

动态规划问题的一般形式就是求最值，求解动态规划的核心问题是穷举。动态规划动态规划状态转移方程无非就是一个函数，它的含义是根据之前的结果推导出当前的结果，这也是动态规划算法的核心思想。

二、0-1背包问题的状态设计

为了运用动态规划算法解决0-1背包问题，首先要对其状态进行设计，具体如下：

将问题拆分为多个阶段，定义每个阶段的状态。根据题目的特殊性质，可以选取总重量为状态的指标，称作“背包重量”。每个“背包重量”状态都对应一组“物品中要不要装”状态，称作“装入状态”。

确定状态之后，就可以根据动态规划的三要素（边界/初始值、状态转移方程、最优子结构）来设计状态转移方程解决问题了。

三、0-1背包问题的状态转移方程

对于每个阶段，决策是“装”或者“不装”。对于每个物品，决策是“装”或者“不装”。因此，对于0-1背包问题状态转移方程如下：

（1）“不装入”状态转移方程：f(i,j)=f(i-1,j)；

（2）“装入”状态转移方程：f(i,j)=f(i-1,j-w(i)) + v(i)；

其中，i 表示可选物品的数量，j 表示当前背包的容量，w(i) 表示第 i 个物品的重量，v(i) 表示第 i 个物品的价值，f(i,j) 表示前 i 个物品中，在不超过 j 的重量限制下所能获得的最大价值。

四、动态规划算法实现

实现0-1背包问题动态规划算法代码如下：

```

public int knapsack(int[] weigth, int[] value, int size) {

int N = weigth.length;

int[][] dp = new int[N+1][size+1];

for(int i = 1; i <= N; i++) {

for(int j = 1; j <= size; j++) {

dp[i][j] = dp[i-1][j];

if(j >= weigth[i-1]) {

dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-weigth[i-1]] + value[i-1]);

}

}

}

return dp[N][size];

}

```