自相关函数计算公式例题

自相关函数是一个信号与其自身经过一定时间延迟后的相似程度的度量。它在信号处理、控制系统、机器学习等领域都有广泛的应用。本文将从以下几个方面介绍自相关函数的计算公式和一个例题。

一、自相关函数定义

对于一个连续时间信号$f(t)$，其自相关函数$R(\tau)$可以表示为：

$$R(\tau)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)f(t-\tau)dt$$

其中，$\tau$为时间延迟，该公式可以理解为对信号$f(t)$进行时间延迟$\tau$相乘后的积分。自相关函数的值域为$(-\infty, \infty)$，其最大值为$f(t)$的能量，一般用归一化后的自相关函数进行表示。

二、离散时间信号的自相关函数

对于一个离散时间序列$x(n)$，其自相关函数$R(k)$的计算公式为：

$$R(k)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)x(n-k)$$

其中，$k$为时间延迟，该公式可以理解为对信号$x(n)$进行时间延迟$k$相乘后的求和。需要注意的是，离散时间信号的自相关函数只能在有限的时间范围内进行计算。

三、自相关函数的性质

1.对称性：自相关函数$R(\tau)$是一个偶函数，即$R(\tau)=R(-\tau)$。

2.正定性：对于所有的$\tau$，自相关函数$R(\tau)\geq 0$。

3.最大值：自相关函数在$\tau=0$时取最大值，即$R(0)=\int_{-\infty}^{\infty}f^2(t)dt$。

4.能量守恒：信号的总能量等于自相关函数在$\tau=0$处的值，即$\int_{-\infty}^{\infty}f^2(t)dt=R(0)$。

四、自相关函数计算公式例题

假设有一个时域序列$x(n)$，序列长度为11，如下所示：

$$x(n)=[1,-1,2,-3,1,2,0,2,-1,-2,1]$$

求该序列的自相关函数$R(k)$。

解：根据上述离散时间信号的自相关函数计算公式，可得：

$$R(k)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)x(n-k)$$

代入$x(n)$的值，可得：

$$R(k)=\sum_{n=0}^{10}x(n)x(n-k)$$

根据此公式，对序列$x(n)$分别计算出$k$从0到10的自相关函数$R(k)$，结果如下表所示：

| k | R(k) |

| - | --- |

| 0 | 24 |

| 1 | -13 |

| 2 | 17 |

| 3 | -17 |

| 4 | 4 |

| 5 | 14 |

| 6 | -3 |

| 7 | 2 |

| 8 | -5 |

| 9 | -2 |

| 10 | 2 |