n个顶点的无向图最少有多少条边

无向图是一种图形结构，它由节点和它们之间的边组成。在无向图中，每个节点都可以与另一个节点直接相连，这种相连不像有向图那样有方向的限制。在这篇文章中，我们将探讨一个有趣的问题：n个顶点的无向图最少有多少条边？

1、图的基本概念

在探讨本题之前，我们首先需要了解一些图的基本知识。图由节点和它们之间的边组成。节点也常常用术语顶点(vertex)来表示。顶点之间的边可以用线段表示，而这些线段可以表示两个顶点之间的连接。如果两个顶点之间有一条连接线，则它们被称为相邻顶点(adjacent vertices)。

在图中，每条边都有一个与之相关的度(degree)。度是指与该边相连的顶点数。比如说，如果一条边连接了4个顶点，那么这条边的度就是4。

2、最少边数的计算

现在，我们来探讨一下n个顶点的无向图最少有多少条边。无向图中边的条数是一个函数f(n)，表示n个顶点的无向图所需的最少边数。我们现在的任务就是找到这个函数的表达式。

当图中只有一个顶点n时，它没有与任何顶点相连。也就是说，不存在边。因此，无向图中边的数量为0。

第二步，我们再添加另一个顶点N-1到图中。这个新的顶点N-1可以与现有的顶点相连，也可以不相连。如果不相连的话，则边的数量仍然为0。如果它与第一个顶点n相连，则边的数量将增加1。 因此，n=2时，无向图中边的数量为1。

第三步，我们向原有的2个顶点中添加第3个顶点N-2，它可以与另外两个顶点中的一个或两个相连。如果已经有两个顶点相连，则不需要再创建任何新的边，因为这个新的顶点与另外两个顶点已经有边相连。另外，如果这个新的顶点还没有与其他顶点相连，则需要在这个点与其他任何点之间创建1条新边。 因此，n=3时，无向图中边的数量为3。

在添加第四个顶点N-3之前，我们需要考虑前面已经添加的三个顶点。当有3个顶点时，除了它们之间的连线外，还可以添加另外3条边，这样它们之间将形成一个三角形，其中每个顶点都与另外两个相邻的顶点相连。因为我们不想让这个无向图成为完全图(complete graph)，因此我们只添加需要的边。 如果N-3与已有的任何三个顶点相连，则它将形成一个完全图。因此，我们只需要添加N-3与其中任意2个顶点相连的一条边。然后，无向图中边的数量为6。

这个模式可以一直持续下去。在添加第N个顶点之前，已经添加的N-1个顶点之间共有(n-1) * (n-2) / 2条边。N个顶点被添加到图之后，N可以与前面的所有n-1个顶点相连，最多能增加N-1条边。 然而，我们需要避免形成完全图，所以我们只添加需要的边，即N-1。 因此，n个顶点的无向图所需的最少边数是：

f(n) = n*(n-1)/2

3、总结

在本文中，我们探讨了一个有趣的问题：n个顶点的无向图最少有多少条边？我们从图的基本概念入手，介绍了图中顶点和边的概念以及度的概念。然后，我们通过数学归纳法找到了n个顶点的无向图的最少边数的计算公式。最后，我们得出n个顶点的无向图所需的最少边数为n*(n-1)/2。这个结果可以为计算机网络、社交网络等领域提供指导，对于解决实际问题具有重要的意义。