动态规划十大经典题目

动态规划是一种算法设计方法，用于优化问题中多阶段决策的决策过程。相较于暴力枚举法，动态规划在时间和空间上更具优势，因此被广泛应用于各个领域。本文将介绍动态规划的十大经典题目，从不同的角度进行分析和讨论。

1. 斐波那契数列

斐波那契数列是指从0和1开始，每个数都是前两个数的和。相邻两项的比值趋近于黄金分割数，是一种经典的数学问题。关于斐波那契数列的动态规划解法，可以看做是一个带备忘录的递归过程，具有较高的时间复杂度。

2. 矩阵连乘

矩阵连乘是指多个矩阵相乘的问题。其动态规划解法需要将矩阵按照顺序划分为不同的子问题，并计算每个子问题的最优解。

3. 最长公共子序列

最长公共子序列是指在两个序列中找到最长的一段公共子序列。该问题可以通过构造一个二维矩阵，依次计算有前缀的两个序列的最长公共子序列长度，获得最终的最长公共子序列。

4. 0-1 背包问题

0-1 背包问题是指有一组物品和一个背包，背包有一定的容量，每个物品有一个重量和一个价值，要求在不超过背包容量的情况下，选取一些物品使得它们的总价值最大。该问题可以采用动态规划求解，将背包容量和选取的物品数量作为自变量，通过比较取与不取某个物品获得的价值，得出背包中得最大值。

5. 数字三角形

数字三角形是指三角形排列的数字序列问题。可以通过构造一个二维矩阵，依次计算每一个位置上的最优解，从而获得最终的数字三角形的最大和。

6. 最长上升子序列

最长上升子序列是指在一个序列中找到一个子序列，使得子序列中的元素按照升序排列，并且子序列的长度最长。该问题可以通过遍历序列的每一个元素，计算以该元素结尾的最长上升子序列的长度，并与之前的最长上升子序列的长度取最大值，获得最终的结果。

7. 最大子段和

最大子段和是指在一个序列中找到一个子序列，使得子序列的元素和最大。该问题可以采用动态规划求解，记录以每个位置结尾的所有子序列的最大和，获得最终的最大子段和。

8. 最优二叉搜索树

最优二叉搜索树是指对于一组数，构造一棵二叉搜索树，使得每个数被搜索的平均次数最小。该问题可以通过动态规划求解，将选取的节点集合划分为不同的子问题，并计算每个子问题的最优解。

9. 编辑距离

编辑距离是指将一个字符串转换成另一个字符串所需的最少操作次数。该问题可以通过构造一个二维矩阵，依次计算每一个位置的最小编辑距离，从而获得最终的编辑距离。

10. 硬币找零

硬币找零是指在给定的一组硬币中，找到最少数量的硬币，使得它们的面值之和等于一个给定的值。该问题可以采用动态规划求解，记录每个金额的最小硬币数，获得最终的最小硬币数目。

综上所述，在动态规划的十大经典问题中，可以看到动态规划具有的复杂度低、易于实现的特点，因此在实际应用中具有较广泛的应用前景。