完全二叉树是什么

完全二叉树是一种特殊的二叉树，具有良好的性质和应用场景。在本文中，我们将从多个角度对完全二叉树进行分析，包括定义、特征、性质和应用。

定义

完全二叉树是一种二叉树，其所有非叶节点都有两个子节点，最后一层节点全部靠左排列。此外，除了最后一层，其他层的节点数都是满的。换句话说，完全二叉树是一个深度为h的二叉树，其中第1层到第h-1层都是满的，第h层从左到右有几个节点就有几个节点。

特征

完全二叉树具有以下特征：

1.高度为h的完全二叉树节点个数为2^h-1，其中h为深度。

2.若根节点编号为1，则二叉树中第i个节点的编号为i。

3.若节点的编号为i，则其左节点编号为2i，右节点编号为2i+1，父节点编号为i/2。

4.完全二叉树只有最后一层的节点数可以不是满的，且最后一层节点从左到右依次排列。

性质

完全二叉树具有以下性质：

1. 对于一棵完全二叉树，如果叶节点个数为n，则该树的节点数为2n-1。

2. 假设一棵完全二叉树的高度为h，右子树不论是满二叉树还是非满二叉树，其高度只可能为h-1或h-2。

3. 如果一棵完全二叉树的节点从上到下、从左到右依次编号为1, 2, 3, ..., n，则对于i（1<=i<=n），有：

① 如果2i<=n，则i的左儿子是2i，否则i没有左儿子。

② 如果2i+1<=n，则i的右儿子是2i+1，否则i没有右儿子。

应用

完全二叉树具有广泛的应用，主要包括以下两个方面：

1.堆的实现：堆是一种数据结构，可分为大根堆和小根堆两种类型。完全二叉树是堆的一种重要实现方式，具有快速查找最大值（或最小值）的性质。在操作系统、网络、数据库等领域都有广泛的应用。

2. Huffman编码：Huffman编码是一种可变字长编码，通过确定字符出现的频率，采用树形结构的方式压缩数据。其中，Huffman编码树就是一种完全二叉树。