具有三个节点的二叉树有多少种

二叉树是计算机科学中非常重要的数据结构之一，其中每个节点最多有两个子节点。具有三个节点的二叉树是最简单的二叉树之一，它有多少种可能的形状一直是一个比较有趣的问题。在本文中，我们将从多个角度分析具有三个节点的二叉树有多少种。

一、暴力枚举

最暴力的方法当然就是枚举所有的情况，对于具有三个节点的二叉树来说，根节点只能有两个子节点，而每个子节点也最多只能有一个子节点。因此，我们可以先固定根节点，然后枚举子节点的所有可能情况。具体方法如下图所示：


根据上图，我们可以得到以下所有可能的二叉树：

- 1 -> 2 -> 3

- 1 -> 3 -> 2

- 1 -> 2 -> null

- 1 -> null -> 2

- 1 -> 3 -> null

- 1 -> null -> 3

因此，具有三个节点的二叉树有6种可能的形状。

二、递归计算

递归是解决二叉树问题时经常使用的方法。对于具有三个节点的二叉树来说，它的构成必然是一个根节点加上两个子树。我们可以通过递归的方式来计算左右子树的可能形状，然后将其相乘即可得到所有可能形状的个数。具体方法如下：

```python

def countBinaryTrees(n: int):

if n == 0 or n == 1:

return 1

count = 0

for i in range(n):

count += countBinaryTrees(i) * countBinaryTrees(n-1-i)

return count

```

我们将上述代码运行，传入 n=3，即可得到结果为5。但是，这个方法会存在大量的重复计算，导致计算时间过长，不适合用来计算较大数量的节点。

三、数学公式

通过前面的两种方法，我们已经得到了具有三个节点的二叉树有6种可能的形状和5种可能的形状。但是，我们可以通过相应的数学公式来得到正确的答案。具体方法如下：

对于具有 n 个节点的二叉树来说，它的形状总数为卡特兰数（Catalan Number）。

卡特兰数的计算公式为：

```

C(0) = 1

C(n+1) = sum(C(i) * C(n-i)), i=0...n

```

对于具有三个节点的二叉树，它的形状总数为 C(2) = 2。

因此，我们可以得出结论：具有三个节点的二叉树有2种可能的形状。

结论

通过暴力枚举、递归计算和数学公式三种方法，我们得到的结果分别为6、5和2。那么到底哪种方法是正确的呢？显然，数学公式是得出正确答案的方法。