折半查找失败平均查找长度

折半查找是一种基于有序数组的查找方式，它通过比较查询值和中间节点的大小来确定查询值所在的位置。在进行折半查找时，数组必须有序，否则无法确定查询值所在位置。折半查找的时间复杂度为 O(logn)，具有很好的查找效率。但是，在某些情况下，折半查找会失败，这时，需要计算出它的失败平均查找长度。

1. 失败平均查找长度的定义

在折半查找中，如果查询值不在数组中，则需要进行无限次查找才能确定其不存在。为了避免这种情况，我们可以通过设置查找次数的上限来约束查找的过程。折半查找失败平均查找长度就是指在进行一次查询时，查询值不在数组中的情况下，查找的次数上限与实际查找次数的期望值之比。

2. 失败平均查找长度的计算方法

对于一个有序数组，它的长度为 n，某次查询的查询值为 x，如果查询值不在数组中，则需要进行 log2(n)+1 次查找才能确定其不存在。假设每次比较都是等概率的，那么我们就可以得到下面的概率：

- 查找次数为 1 的概率为 1/n；

- 查找次数为 2 的概率为 (n-1)/n * 1/(n-1) = 1/n；

- 查找次数为 3 的概率为 (n-1)/n * (n-2)/(n-1) * 1/(n-2) = 1/n；

- ……

- 查找次数为 k 的概率为 (n-1)/n * (n-2)/(n-1) * …… * (n-k+1)/(n-k+2) * 1/(n-k+1) = 1/n；

由此可知，对于一个有序数组，它的失败平均查找长度为 (log2(n)+1)/n。

3. 失败平均查找长度的影响因素

（1）数组长度

对于一个有序数组，它的长度越大，折半查找失败的概率就越小，失败平均查找长度也就越小。

（2）查询值

对于同一个有序数组，查询值在不同位置的失败平均查找长度也是不同的。当查询值接近数组中间位置时，失败平均查找长度较小；当查询值接近数组两端时，失败平均查找长度较大。

（3）数据分布

折半查找的效率很大程度上取决于数据分布的情况。对于均匀分布的数据，折半查找的效率很高，失败平均查找长度也比较小；对于不均匀分布的数据，折半查找的效率会受到很大的影响，失败平均查找长度也比较大。

4. 总结

折半查找是一种高效的查找方式，可以在有序数组中快速定位查询值。在进行折半查找时，如果查询值不在数组中，需要计算失败平均查找长度，来评估查找的效率和性能。失败平均查找长度受到多种因素的影响，包括数组长度、查询值、数据分布等等，需要根据实际情况进行合理的评估和设计。