最小生成树例题详解

最小生成树是计算机科学中一个重要的算法，它的应用广泛，例如在网络设计、物流规划等领域。在本文中，我们将详细介绍最小生成树的概念和算法，并通过一个例题来演示其应用过程。

什么是最小生成树？

最小生成树是在一个加权连通图中，找到一个生成树，使得树的权值之和最小。其中，加权连通图是一个图，它的每条边都有一个权值。生成树是一个包含了所有顶点的树，且边数最少。可见最小生成树所求即为满足这两个条件的最优解。

如何构建最小生成树？

Kruskal算法和Prim算法是两种常用的最小生成树算法。

Kruskal算法是一种贪心算法，它将边按照权值从小到大排序，接着依次选择边，判断其是否形成环，如果没有，就将其加入生成树中。Kruskal算法的时间复杂度为O(ElogE)，其中E是边的数量。

Prim算法是从一个点开始，逐步扩展生成树的范围，每次都选择与当前生成树距离最近的点，并将其加入树中。Prim算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V是节点的数量。

下面我们通过一个例题来演示最小生成树的应用过程。

例题分析

给定一张无向图，其中每条边都有一个权值，我们需要找到一棵最小生成树。

首先，我们可以根据Kruskal算法来计算它的最小生成树。具体步骤如下：

1. 将所有边按照权值从小到大排序。

2. 初始化一个空的生成树。

3. 依次遍历每一条边。

4. 如果当前边不会形成环，则将其加入生成树。

5. 直到生成树中的边数等于节点数减一。

按照以上步骤，我们得到的最小生成树如下图所示：


接着，我们可以使用Prim算法，按照以下步骤计算出最小生成树：

1. 选择一个起点，并将其加入生成树。

2. 依次选择与当前生成树距离最近的点，将其加入生成树。

3. 直到生成树中的边数等于节点数减一。

按照以上步骤，我们得到的最小生成树如下图所示：


我们可以发现，不论是 Kruskal算法还是Prim算法，最终得到的结果都是一样的，即权值之和为13的最小生成树。