非空完全二叉树

在计算机科学中，二叉树是计算机科学中最基本的数据结构之一。二叉树是由一个根节点和两个子节点组成的树形结构。而非空完全二叉树则是具有特殊性质的一种二叉树。在这篇文章中，我们将从定义、性质、应用和实现四个角度来分析非空完全二叉树。

定义

非空完全二叉树是一种具有非常特殊性质的二叉树。它由n个节点组成，这些节点按照从上到下、从左到右的顺序依次排列，所有节点都有值。同时，非空完全二叉树的最后一层节点都必须集中在树的左侧。也就是说，如果一个节点有右子树，那么它一定也有左子树。如下图所示是一个非空完全二叉树的例子。


性质

非空完全二叉树有很多重要的性质，这些性质使得它在实际应用中得到了广泛的应用。

1. 非空完全二叉树的节点个数n，满足n=2^h-1，其中h为树的高度。

2. 非空完全二叉树的高度为log₂(n+1)。

3. 在非空完全二叉树中，如果节点的编号为i，那么它的左子节点编号为2i，右子节点编号为2i+1。

4. 非空完全二叉树可以用一个数组来表示，其中第i个位置存储的就是编号为i的节点的值。

5. 对于一个非空完全二叉树，如果将所有节点按照从上到下、从左到右的顺序依次编号，那么对于编号为i的节点，它的父节点编号为i/2（向下取整）。

应用

在实际应用中，非空完全二叉树有着广泛的应用。

1. 堆（Heap）是非空完全二叉树的一种特殊形式。堆分为最大堆和最小堆两种。最大堆的根节点的值最大，最小堆的根节点的值最小。堆被广泛地应用在排序和优先级队列中。

2. 多叉树的缩减二叉树（Leftist Tree）其实也是一种非空完全二叉树的变形。多叉树是一种每个节点有多个子节点的树结构，而缩减二叉树是一种只有两个子节点的二叉树，通过施加一些限制，可以将多叉树转化成缩减二叉树，用于一些特殊的应用场景中。

3. 链式前向星是一种用于解决稀疏图遍历和计算的数据结构。链式前向星本质上是一棵二叉树，其中每个节点表示某个特定点的一条边。在链式前向星中，非空完全二叉树的应用可以使图的遍历和计算效率有很大的提升。

实现

由于非空完全二叉树的特殊性质，因此它可以被用来作为其他数据结构的内部实现。

1. 数组实现。由于非空完全二叉树的节点按照从上到下、从左到右的顺序依次排列，因此我们可以使用一个数组来表示该非空完全二叉树。对于非空完全二叉树中的第i个节点，它在数组中的下标为i-1。

2. 链表实现。非空完全二叉树的链式存储方式为完全二叉树的大致存储方式，从上到下、从左到右的顺序连接起来。在链表实现上，我们可以直接将各个节点指针指向其左右孩子。

3. 队列实现。非空完全二叉树的构造可以使用队列来实现，从树的根节点不停地向下查找并将查找到的每一个节点保存到队列中，按照先左右后左右的顺序将找到节点的左右儿子入队，从而将整个完全二叉树建立起来。