二叉排序树的删除算法

二叉排序树是一种常见的数据结构，它的删除操作是十分重要的。在二叉排序树中，删除一个结点后需要保证剩下的结点仍然符合二叉排序树的定义，即左子树的所有结点值都小于根结点的值，右子树的所有结点值都大于根结点的值。在本文中，我们将探讨二叉排序树的删除算法，从多个角度进行分析。

一、 基本方法

删除二叉排序树中某个结点的基本方法是将其替换为某个孩子结点或者是其后继结点。这里我们只讨论替换为孩子结点的情况，替换为后继结点的情况将在下文中讨论。

对于删除的结点，只有两个孩子结点都不存在或者只有其中一个孩子结点存在的情况下，才能进行删除，否则需要将其转化为上述两种情况。当被删除的结点没有左孩子时，将右孩子替换到被删除的位置上；当被删除的结点只有左孩子时，将左孩子替换到被删除的位置上。对于被删除的结点存在两个孩子结点的情况，通常可以采用将其后继结点替换到被删除结点上，再将后继结点删除的方法来处理。

二、 后继结点的定义与查找方法

在二叉排序树中，每个结点的后继结点就是其右子树中最左侧的结点。要找到一个结点的后继结点，可以按照如下步骤进行：

1. 判断该结点是否存在右孩子。

2. 如果存在右孩子，则查找右孩子的左子树中最左侧的结点即为其后继结点。

3. 如果不存在右孩子，则向上查找，直到找到一个结点是其父结点的左孩子位置，此时父结点就是这个结点的后继结点。

三、 删除存在两个孩子结点的结点

在删除存在两个孩子结点的结点时，常用的方法是找到其后继结点，将其值赋给被删除的结点，再将后继结点删除。这一过程中需要注意以下几点：

1. 确定后继结点时，可以将其左子树中最左侧的结点作为替换后继结点的位置。

2. 在将后继结点替换到被删除结点上时，需要将后继结点的父结点的指针指向后继结点的右孩子。

3. 在将后继结点删除时，需要注意删除后继结点可能破坏二叉排序树的定义，需要进行调整。

四、 删除不存在两个孩子结点的结点

对于删除不存在两个孩子结点的结点，其逻辑比较简单，只需要将其孩子结点替换到被删除的位置上即可。但需要注意的是，如果被删除的结点是根结点，删除后需要将整个二叉排序树的根结点指针指向替换后的孩子结点。

五、 代码实现

对于删除操作，其实现代码还需要注意几个问题：

1. 如果删除的是叶子结点，需要将其父结点指向它的指针置为空。

2. 如果删除的不是叶子结点，需要将其父结点指向它的指针指向删除结点的孩子结点。

3. 如果被删除的结点存在两个孩子结点，则需要用其后继结点替换到被删除结点的位置上，再将后继结点删除。

代码实现：

```

/* 删除结点 */

void DeleteNode(BSTree &T, int key) {

if (T) {

if (T->key == key) { // 找到要删除的结点

if (T->left == NULL && T->right == NULL) { // 被删除结点为叶子结点

T = NULL;

} else if (T->left == NULL) { // 被删除结点只有右孩子

T = T->right;

} else if (T->right == NULL) { // 被删除结点只有左孩子

T = T->left;

} else { // 被删除结点存在两个孩子结点，用后继结点替换

BSTree p = T->right;

while (p->left != NULL) {

p = p->left;

}

T->key = p->key;

DeleteNode(T->right, p->key);

}

} else if (T->key > key) { // 在左子树中查找要删除的结点

DeleteNode(T->left, key);

} else { // 在右子树中查找要删除的结点

DeleteNode(T->right, key);

}

}

}

```