对给定的数列构造二叉排序树

二叉排序树（Binary Search Tree），又称二叉搜索树、二叉查找树，在计算机科学中是一种重要的数据结构。二叉排序树可以利用比较的方式快速地查找、插入、删除数据，是一种高效的数据结构。

在本篇文章中，我们将从多个角度分析如何对给定的数列构造二叉排序树，包括什么是二叉排序树、构造二叉排序树的方法和步骤、二叉排序树的应用以及二叉排序树的优缺点等方面。

什么是二叉排序树？

二叉排序树，顾名思义就是一棵二叉树，而且它是按照大小排序的。具体来说，左子树上的所有节点都比根节点小，右子树上的所有节点都比根节点大。这里要注意，左右子树上的节点也是按照大小排序的。

构造二叉排序树的方法和步骤

构造二叉排序树主要包括两个步骤：插入节点和删除节点。

1. 插入节点

插入节点时，首先判断该节点的大小关系。如果该节点小于根节点，就往左子树插入；如果该节点大于根节点，就往右子树插入。如果该节点已经存在于二叉排序树中，就直接返回即可。插入节点的代码如下：

```

void insert(TreeNode* &root, int val) {

if (root == NULL) {

root = new TreeNode(val);

return;

}

if (val < root->val) {

insert(root->left, val);

} else if (val > root->val) {

insert(root->right, val);

}

}

```

2. 删除节点

删除节点时，有三种情况需要考虑：被删除节点没有子节点、被删除节点只有一个子节点、被删除节点有两个子节点。我们分别对这三种情况进行讨论。

① 若被删除节点没有子节点，直接删除即可。

② 若被删除节点只有一个子节点，将该节点的子节点接到被删除节点的父节点上，然后删除该节点。

③ 若被删除节点有两个子节点，将被删除节点右子树上的最小节点替换被删除节点，然后删除该最小节点。

删除节点的代码如下：

```

void remove(TreeNode* &root, int val) {

if (root == NULL) {

return;

}

if (val < root->val) {

remove(root->left, val);

} else if (val > root->val) {

remove(root->right, val);

} else {

if (root->left == NULL && root->right == NULL) {

root = NULL;

} else if (root->left == NULL) {

TreeNode* tmp = root;

root = root->right;

delete tmp;

} else if (root->right == NULL) {

TreeNode* tmp = root;

root = root->left;

delete tmp;

} else {

TreeNode* minNode = root->right;

while (minNode->left != NULL) {

minNode = minNode->left;

}

root->val = minNode->val;

remove(root->right, minNode->val);

}

}

}

```

二叉排序树的应用

二叉排序树可以用于查找、排序和去重，是一种非常常用的数据结构。具体应用包括：

1. 查找最小值和最大值：二叉排序树的左子树上的所有节点都比根节点小，所以最小值一定在左子树上；右子树同理。

2. 查找某个值是否存在：按照二叉排序树的规则查找即可。

3. 排序：二叉排序树的中序遍历可以得到一个有序的数列。

4. 去重：插入节点的时候会自动去重。

二叉排序树的优缺点

优点：

1. 查找、插入、删除数据都很快，时间复杂度为 O(log n)。

2. 可以用于排序，得到的结果是有序的。

3. 可以用于去重。

缺点：

1. 对于有序的数列，二叉排序树会退化成链表。

2. 插入和删除的时候需要维护平衡，否则会影响性能。