完全二叉树的层序遍历

在计算机科学领域，树是一种非常常见的数据结构，它可以用来表示许多实际问题。而在树的分类中，完全二叉树是一种特殊的类型。完全二叉树常常被用于实现其他数据结构和算法。本文将详细介绍完全二叉树及其层序遍历的概念和应用。

什么是完全二叉树？

完全二叉树是一种特殊的二叉树，它满足两个条件：

1. 所有的叶子节点都在最底层或者次底层。

2. 叶子节点都向左对齐。

如图所示，这是一个完全二叉树：

1

/ \

2 3

/ \ /

4 5 6

完全二叉树的性质

完全二叉树有一些非常重要的性质，这些性质与它在实际应用中的作用密切相关。下面是完全二叉树的性质：

1. 对于一个有n个节点的完全二叉树，由上到下、由左到右，其节点从1到n编号，且任意节点的左儿子编号均为 2i，右儿子编号均为 2i+1，其父节点编号为 i/2（下取整）。

2. 一个有n个节点的完全二叉树的深度为 log₂⁡n +1。

3. 如果对一个完全二叉树的节点按照从上到下、从左到右的顺序进行编号，那么节点编号为i（1 ≤ i ≤ n）的结点与一个深度为 ⌊log₂⁡i⌋ 的满二叉树中编号为i的结点在完全二叉树中位置相同。

4. 如果用数组a来存储一个完美二叉树，则a[i]的左孩子是a[2i]，右孩子是a[2i+1]，父节点是a[i/2]。

完全二叉树的层序遍历

层序遍历是树的一种遍历方式，也叫宽度优先遍历，顾名思义，就是按照树节点所在的层次对树进行遍历，从上至下、从左至右地遍历整个树。 而对于完全二叉树，要做到层序遍历则非常容易。

根据完全二叉树的性质，从上到下、从左到右遍历即可。具体地，可以使用一个先进先出队列（即一般的队列）来实现：

1. 将根节点入队；

2. 当队列不为空时，重复以下操作：

a. 从队列中取出一个节点 cur；

b. 输出该节点的值；

c. 如果该节点有左儿子，则将其左儿子加入队列；

d. 如果该节点有右儿子，则将其右儿子加入队列。

通过如上操作，可以得到完全二叉树的层序遍历序列。

完全二叉树的应用

完全二叉树的主要应用是堆的实现。堆是一棵完全二叉树，主要用来实现优先队列。堆分为大根堆和小根堆。在大根堆中，每个节点的值都大于或等于其子节点的值，而在小根堆中，每个节点的值都小于或等于其子节点的值。

堆中插入元素和取出最小元素的时间复杂度均为O(log n)，可以通过往堆中插入元素实现堆排序，时间复杂度最优为O(n log n)。

此外，完全二叉树还常被用于哈夫曼树、优先队列及二叉搜索树的实现。