统计直方图中位数和平均数怎么算

在统计学中，中位数和平均数都是常见的用来衡量数据集趋势的指标。统计直方图是将数据集分成一些等宽的类别，并用矩形代表这些类别的数量，通过直方图可以很清楚地展示数据集中各个数据点的分布情况。本文将从多个角度分析如何通过直方图计算中位数和平均数。

一、中位数的计算

中位数是将数据集按大小排序后，处于中间位置的数值，如果数据集中数据点的数量为偶数，则中位数为中间两个数据点的平均值。中位数的计算可以通过直方图来实现，具体步骤如下：

1. 将直方图中的所有矩形按照从小到大的顺序进行排列。

2. 将直方图中的数据点数量与总数量的一半进行比较，如果数量为偶数，则取中间两个数据点中间的平均值，如果数量为奇数，则直接取位于中间的数据点。

例如，下面这个直方图描述了一个数据集的分布情况，我们可以通过这个直方图计算中位数：


从直方图中可以看出，数据集中共有15个数据点。根据上述计算步骤，我们可以找到中位数：

1. 将直方图中的所有矩形按照从小到大的顺序进行排列：1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 8。

2. 计算中间的数据点，15/2=7.5，因为是奇数，所以中间的数据点为第8个，即4。

所以，这个数据集的中位数为4。

二、平均数的计算

平均数是数据集中所有数据点的总和与数据点数量的商。对于直方图，平均数可以通过下列公式进行计算：

$$\bar{x}=\frac{\sum\limits_{i=1}^n{f_ix_i}}{\sum\limits_{i=1}^n{f_i}}$$

其中，$f_i$代表第$i$个矩形的数据点数量，$x_i$代表这个矩形的中心点。具体步骤如下：

1. 计算每个矩形的中心点。对于每个矩形，我们可以通过该类别的区间两端点的平均值找到中心点。

2. 计算每个矩形的总和。对于每个矩形，我们将中心点乘以该类别的数据点数量，从而得到这个矩形的总和。

3. 计算所有矩形的总和。将每个矩形的总和加起来，得到所有矩形的总和。

4. 计算平均数。通过上述公式计算出平均数。

以下是一个直方图的例子，在这个直方图中，我们可以计算出平均数：


具体步骤如下：

1. 计算每个矩形的中心点。对于每个矩形，我们可以通过该类别的区间两端点的平均值找到中心点。例如，第一个矩形的中心点为(0+5)/2=2.5。

2. 计算每个矩形的总和。对于每个矩形，我们将中心点乘以该类别的数据点数量，从而得到这个矩形的总和。例如，第一个矩形的总和为2.5*10=25。

3. 计算所有矩形的总和。将每个矩形的总和加起来，得到所有矩形的总和，即251.5。

4. 计算平均数。通过上述公式计算出平均数，即251.5/50=5.03。

三、中位数和平均数的比较

中位数和平均数都是用来衡量数据集趋势的指标，在一定程度上可以反映数据分布情况。通常来说，如果数据集中有异常值，其对平均值的影响要大于对中位数的影响。因为中位数只是数据集中位于中间位置的数值，而平均值却要受到所有数据点的影响。

另外，中位数和平均数的选择也取决于数据分布情况。对于分布近似对称的数据集来说，中位数和平均数的值相近；而对于高度偏态的数据集来说，中位数更能够反映数据的中心趋势。

解决方案：

对于高度偏态的数据集，我们可以选择使用中位数来衡量数据的代表性。而对于分布近似对称的数据集来说，我们可以选择使用平均数或中位数来衡量数据集的趋势。