完全二叉树和满二叉树的包含关系

在研究数据结构的时候，完全二叉树和满二叉树是两个同样具有重要性的概念，它们也是面试中常考的知识点。本文将从多个角度分析完全二叉树和满二叉树的包含关系。

1. 完全二叉树和满二叉树的定义

在开始分析二叉树包含关系之前，我们先来了解一下什么是完全二叉树和满二叉树。

完全二叉树：对于任意的节点i，如果它的左子树存在，则必须存在右子树，如果它的右子树存在，那么它的左子树必须存在，且对于每个非叶子节点，它的度数都为2。完全二叉树的叶子节点只出现在最下面两层，最后一层的叶子节点都靠左对齐。

满二叉树：除了叶子节点外，每个节点都有两个子节点，每一层都被填满。满二叉树中，所有非叶子节点的度数都是2。满二叉树的叶子节点也只在最下面两层，且叶子节点的个数等于2^(h-1)，其中h为树的高度（层数）。

2. 完全二叉树包含满二叉树

每个满二叉树必定是一个完全二叉树，但是一个完全二叉树不一定是一个满二叉树。简单来说，如果一棵二叉树的最后一层节点全部都在树的最左边，那么这颗树就是满二叉树。而一个完全二叉树，虽然它的最后一层节点不一定占满整层，但是如果最后一层节点占满整个层，则它就是一个满二叉树。

3. 满二叉树的性质

满二叉树是一种具有很多特殊性质的二叉树，接下来我们来看看它的性质。

（1）满二叉树的节点个数：设满二叉树的高度为h，则它的节点个数为2^h -1。

（2）满二叉树的高度：给定节点数n，满二叉树的高度h为log(n+1)。

（3）满二叉树的叶子节点个数：满二叉树的叶子节点个数是非常特殊的。满二叉树的叶子节点只在最后一层出现，且在每个子树中，叶子节点的个数相同。满二叉树的叶子节点个数为(h+1)/2。

（4）满二叉树中每一层的节点数都是它上一层节点数的两倍。

4. 完全二叉树的性质

完全二叉树也具有很多特殊的性质。

（1）完全二叉树的节点个数：假设完全二叉树的高度为h，第i层最多有2^(i-1)个节点，i ≤ h。对于深度为h的节点，它的左子树是一棵满二叉树，右子树是一棵高度为h-1的完全二叉树。

（2）完全二叉树的高度：有n个节点的完全二叉树的高度为log2n+1或者log2n（取决于n的值是否是2的整数次幂）。

（3）完全二叉树的叶子节点个数：在完全二叉树中，除了最后一层的右侧可能有少量的叶子节点之外，其他层的叶子节点都是满的，因此叶子节点的个数一般小于2^(h-1)，但肯定大于等于2^(h-2)。当一棵完全二叉树的节点个数为n时，它的叶子节点个数为n/2（当n为奇数时）或n/2+1（当n为偶数时）。

5. 结论

综上所述，每个满二叉树都是一个完全二叉树，但是一个完全二叉树不一定是一个满二叉树。满二叉树和完全二叉树都具有自己的特殊性质，在实际应用中可以灵活运用。在程序设计中，可以根据二叉树的具体要求选择使用满二叉树或完全二叉树。