动态规划算法通俗易懂

动态规划算法是一种常见的解决问题的方法，尤其在处理计算机科学问题时，被广泛应用。使用动态规划算法可以让程序员更容易解决一些难度较高的问题，而且在解决问题的时候也能够提升程序的性能和效率。但如果缺乏实际应用经验，动态规划算法可能会显得非常复杂和令人困惑。本文将从多个角度来分析动态规划算法，以便让读者更好地理解和掌握这种算法。

什么是动态规划算法？

动态规划算法（Dynamic Programming, 简称DP）是一种常用的算法思想和解题技巧。它通常用于优化递归、缓存已有的结果从而避免重复计算、降低算法的时间复杂度等，是一种解决最优解问题的有效方法。

动态规划的核心思想是将原问题分解成多个子问题，逐个解决子问题，同时将子问题的结果缓存起来，避免了重复计算，为算法的优化打下了基础。通俗地说，就是一种“存结果”的技巧。

动态规划的应用场景

动态规划广泛应用于各个领域，例如：

1.背包问题：将一些物品放入背包中，使得背包的总价值最大化，但要求背包的容量不超过一定的限制。

2.编辑距离问题：求出两个字符串之间最短的编辑距离，可以衡量两个字符串之间的相似度。

3.最长上升子序列问题：给定一个序列，找到一个子序列，使得这个子序列的数值单调递增，且长度尽可能的长。

如何理解动态规划？

在解决动态规划问题的过程中，需要理解两个重要概念：最优子结构和重叠子问题。

1.最优子结构：指一个问题的最优解包含其子问题的最优解。也就是说，通过求解子问题的最优解，可以得到原问题的最优解。这是动态规划的核心思想。

2.重叠子问题：指在求解问题的过程中，会重复计算某些子问题的解。动态规划通过缓存已经计算后的结果，避免了重复计算，这种技术称之为“记忆化搜索”。

动态规划算法的设计步骤

1.定义状态：将原问题分解成子问题，然后定义状态，描述子问题的解。

2.写出状态转移方程：根据子问题的解计算原问题的解，提出状态转移方程。

3.考虑初始化：确定初始状态或初始值。

4.考虑输出：确定输出值。

实例解析

这里以“最长上升子序列问题”为例，展示动态规划算法的实现过程。

给定一个序列arr=[2,1,5,3,6,4,8,9,7]，找到一个单调递增的最长子序列的长度。

1.定义状态：设数组dp[i]表示以arr[i]为结尾的最长上升子序列的长度。

2.写出状态转移方程：对于位置i，从第0个位置遍历到i-1，当arr[i]>arr[j]时，更新dp[i]=max(dp[i], dp[j]+1)。

3.考虑初始化：dp数组中默认值为1，因为每个位置都可以单独成为上升子序列。

4.考虑输出：返回dp数组的最大值即可。

最后，我们得到最长上升子序列长度为5，即[1,3,4,8,9]。