线性规划例题

线性规划是数学中的一个重要分支，它通过一定的线性关系来描述和解决实际问题。下面将通过一个实际问题来介绍线性规划的基本概念及其解决方法。

问题描述：

某工厂可以生产甲乙两种产品，并有以下限制条件：

1. 甲乙两种产品的生产数量都必须是正整数；

2. 原材料只够生产甲乙两种产品各2000个；

3. 机器台数只够生产甲乙两种产品各100台；

4. 甲乙两种产品的单位生产时间所需的人力及能耗分别如下表所示：

|产品|人力消耗（小时）|能耗（度）|

|----|--------------|---------|

|甲 | 1 | 2 |

|乙 | 3 | 4 |

5. 每个甲产品能卖出30元，每个乙产品能卖出40元。

问题分析：

上述问题要求确定甲乙两种产品的生产数量，以及甲乙两种产品的售价为已知量，其余均为限制条件或需求。这是典型的线性规划问题。

首先，定义变量：$x_1$表示甲产品的生产数量，$x_2$表示乙产品的生产数量，则问题可以表示为：

$$

\begin{aligned}

\max_{x_1,x_2} & 30x_1+40x_2 & \\

\text{s.t.} & x_1\in\mathbb{Z}^+ \\

& x_2\in\mathbb{Z}^+ \\

& x_1+x_2\le2000 \\

& x_1\times1+x_2\times3\le100 \\

& x_1\times2+x_2\times4\le200 \\

\end{aligned}

$$

其中，max表示问题的目标是最大化利润，s.t.表示问题的限制条件。

此时，问题就可以使用线性规划进行求解。

解决方法：

线性规划问题可以通过单纯形法（Simplex Method）求解。简单来说，单纯形法就是找到一种优化的方式，使得目标函数的值不断变大或不断变小，直到达到极值。

单纯形法的详细实现并不是本文的重点，在此不再展开。通常，我们可以使用一些线性规划软件，如 MATLAB、Gurobi 等来完成问题的求解。

例如，使用 MATLAB 中的 linprog函数可以轻松地得到问题的解。

```

f = [-30;-40];

A = [1 3; 2 4];

b = [100; 200];

lb = [0;0];

ub = [2000;2000];

x = linprog(f,A,b,[],[],lb,ub)

```

运行以上代码，我们可以得到甲乙两种产品的生产数量为 $x_1=250,x_2=583$，此时的利润最大，为 $31270$ 元。