如何求哈夫曼树

哈夫曼树，也叫最优二叉树，是一种用于编码的树形结构。它的特点是根据数据出现的频率构建出一个最优的前缀编码结构，可以有效地压缩数据并降低传输成本。那么，如何求哈夫曼树呢？下面从多个角度进行介绍。

一、基本概念

在讲解求哈夫曼树之前，需要先了解一些基本概念。哈夫曼树的构建基于有权树（Weighted Tree），即每个结点都有一个权值（Weight），表示该结点出现的频率或者概率。在哈夫曼树中，权值小的结点位于树的底部，权值大的结点位于树的顶部。同时，哈夫曼树还满足以下两个性质：

1.哈夫曼树是一棵完全二叉树，即除了最后一层，其它层都是满的。

2.树的每个非叶结点都有两个子结点。

二、求哈夫曼树的步骤

求哈夫曼树的步骤主要有以下几步：

1.将数据按照权值从小到大排序。

2.将权值最小的两个结点合并成一颗新的二叉树，根结点的权值为两个结点权值之和。

3.将新的二叉树放回原先的位置，重新排序。

4.重复步骤2和步骤3，直到只剩下一颗二叉树为止。

下面通过一个例子来说明：

假设数据为A:3，B:1，C:2，D:6，E:4，F:5。

首先，根据权值从小到大排序，得到B:1，C:2，A:3，E:4，F:5，D:6。

然后，取权值最小的两个结点B和C，合并成一颗新的二叉树，其根结点的权值为1+2=3。

接着，将新的二叉树放回原先的位置，重新排序，得到A:3，E:4，F:5，D:6，新的二叉树:3。

依次重复上述步骤，得到新的二叉树如下所示：

最后得到的新的二叉树即为哈夫曼树。

三、哈夫曼编码

哈夫曼树具有的优点是可以最小化编码长度，即通过哈夫曼树可以得到最优的前缀编码结构。所谓前缀编码，就是指将每个字符用一串二进制数来表示，且不会出现某个字符的编码是另一个字符编码的前缀。例如，若A编码为10，B编码为101，C编码为111，则不存在一个编码为1的字符。

为了求得一个字符的哈夫曼编码，需要先找到这个字符在哈夫曼树中对应的叶子结点，然后从这个叶子结点开始向上走到根结点，每次向左或向右走就添加一个0或1，最终得到该字符的哈夫曼编码。例如，对于上述例子，字符A的哈夫曼编码为10，B的编码为000，C的编码为001，D的编码为11，E的编码为01，F的编码为001。

四、时间复杂度

求哈夫曼树的时间复杂度为O(nlogn)，其中n表示数据个数。具体来说，每次选取最小的两个数据合并成一颗新的二叉树，需要排序的次数为n-1，因此排序的时间复杂度为O(nlogn)；同时，每次合并的时间复杂度为常数级别，因此求哈夫曼树的总时间复杂度为O(nlogn)。