通过结点数算二叉树种类

二叉树是计算机科学中重要的数据结构之一，在算法设计中有着广泛应用。其基本结构是由结点和指向子结点的指针构成的树形结构。在二叉树中，每个结点最多只有两个子结点，分别称为左子树和右子树。对于任意结点，其左子树的结点数与右子树的结点数也是不确定的。因此，根据给定的结点数，计算二叉树的种类是一道经典计算问题。

一、 问题描述

计算二叉树的种类问题，可定义为：给定 n 个结点，构建二叉树的方案数，即从 n 个结点中不同的选择两个结点作为根结点，并将剩下的结点分配到两棵子树上，再构建出二叉树。这个问题的解析度高，需要熟悉组合数学和卡特兰数的知识。

二、递推公式

通过观察小规模二叉树的情况，可以推导出递推公式。如下图所示，当结点数为 0、1、2 时，二叉树的数量分别为 1、1、2。根据递推公式，当 n 为 3 时，共有 5 种不同的二叉树构建方案。当 n 为 4 时，方案数增至 14。


那么递推公式可这样表示：

$${C_n}=\sum\limits_{i=0}^{n-1}{C_i}{C_{n-i-1}}$$

公式中，$C_n$ 表示 n 个结点的二叉树数量。

三、 生成函数

通过生成函数推导，可求出二叉树数量的通项公式，进一步加速算法求解。首先，二叉树生成函数的定义如下：

$$B(x)=1+x+2x^2+5x^3+14x^4+42x^5+\cdots$$

其中，$x^n$ 的系数表示 n 个结点的二叉树数量。为了求 $B(x)$，需要将二叉树分解为子树，进而得到二叉树生成函数的递推公式。可以考虑，将二叉树分为左子树、根结点、右子树三部分，进一步分解其生成函数构成式，如下所示：

$$B(x)=1+x\cdot B(x) + B(x)\cdot\sum^{\infty}_{i=1}b_i{x^i}$$

其中，$b_i$ 表示 i 个结点的二叉树数量。上式的第一项表示空树，第二项表示一个结点的情况，最后一项表示左右子树之和。将上述式子变形后，则可得到通项公式：

$$B(x)=\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}$$

由此，即可通过代入整数解的方式，计算出 n 个结点的二叉树数量。

四、 卡特兰数

对于该问题，还有一种基于卡特兰数的求解方式。一个长度为n的序列的卡特兰数定义为，由任意破折号将其划分成若干段，使得任意一段中左括号的数量都大于右括号的数量，且最左侧为左括号，最右侧为右括号。例如，当 n = 3 时，卡特兰数为 $C_3$ = 5，即以下5种方案：

((()))

(()())

(())()

()(())

()()()

计算 n 个结点的二叉树数量问题，也可以转化为卡特兰数。由此，可得到卡特兰数的通项公式为：

$$C_n=\frac{(2n)!}{(n+1)!n!}$$

五、应用

计算二叉树的种类问题，是计算机科学中经典的算法问题，有着丰富的应用场景。在解决动态规划、图像处理、机器学习等问题中，都运用到了二叉树的基本概念。例如，MCTS是蒙特卡洛树搜索算法，在其中，二叉树就有很重要的作用。在微软的Windows平台中，dll文件的依赖关系就是一个二叉树关系，为了更加高效地管理依赖关系，二叉树的算法特性就发挥了主导作用。

六、结论

计算二叉树的数量，虽然在一定规模之内，能够直接根据结点数得出。但是，提高求解问题的效率，仍需要运用卡特兰数、递推公式、生成函数等知识，从不同角度考虑问题。不仅能解决计算机科学中的问题，也有实际应用和意义。