运筹学关键路径例题

运筹学是一门以数学方法解决实际优化问题的学科，关键路径是其重要概念之一。本文将以一个实际例题为例，从多个角度分析关键路径的作用及其应用。

一、题目

假设一家公司要完成一项工程，需要经过如下流程：

任务1：策划、设计，需要10天完成

任务2：采购设备，需要15天完成

任务3：设备调试，需要30天完成

任务4：并排多项工作：A. 安装B，15天；B. 安装C，5天；C. 安装D，10天。需要完成A、B、C、D四个任务才能完成本项工程

请问，该项工程的最短完成时间是多少？哪些任务是关键路径上的任务？

二、分析

1. 绘制工程CPM网络图

将每个任务及其所需时间绘制在节点上，并用箭头标明前后关系，绘制该工程的CPM网络图。


2. 计算每个任务的最早开始时间及最晚开始时间

根据CPM网络图，在不超时的情况下，每个任务都应该在其前驱任务完成之后开始。最早开始时间与最晚开始时间的计算如下表。

|任务|最早开始时间|最晚开始时间|

|-|-|-|

|1|1|1|

|2|11|11|

|3|26|26|

|4A|41|61|

|4B|41|56|

|4C|41|51|

|4D|51|61|

注：最早开始时间从1日开始计算，因此任务1的最早开始时间为1；最晚开始时间指该任务完成后工程仍能在预定时间内完成的最晚时间。

3. 计算关键路径

关键路径是指不能延误的一条任务序列，它们的最早开始时间与最晚开始时间相等。在本例中，关键路径为1-2-3-4D，其最短完成时间为61天。

三、总结

本文以一道实际例题为例，介绍了如何绘制CPM网络图、计算最早开始时间与最晚开始时间和求解关键路径。关键路径理论是运筹学中一个重要的工具，它可以帮助我们发现工程进度的瓶颈，优化工程的完成时间。关键路径的应用广泛，比如制造业、建筑业等各个领域都有应用。希望本文的内容对您有所启发。