如何构造完全二叉树

完全二叉树是一种非常重要的数据结构，在计算机科学中得到了广泛应用。它是由n个节点组成的二叉树，其中每个节点的度数不超过2，除最后一层外，其他层的节点都是满的，最后一层的节点都靠左排列。本文将从多个角度分析如何构造完全二叉树，帮助读者更好地理解和掌握这个重要的数据结构。

一、完全二叉树的定义

完全二叉树是指深度为h的二叉树，除第h层外，其它层（1~h-1）的节点数都达到最大个数，第h层所有节点都连续集中在最左边。因此完全二叉树是一种时空效率较高的二叉树。它的主要特点是节点分布均匀、高度较小，是一种非常重要的数据结构，在排序、堆和图等算法中都有广泛应用。

二、构造完全二叉树

1.通过数组构造完全二叉树

一个n个节点的完全二叉树，可以通过一个长度为n的数组来表示。对于数组中下标为i的元素，它的父节点下标为(i-1)/2，左子节点下标为2*i+1，右子节点下标为2*i+2。通过这种方式，我们可以很容易地构造一个完全二叉树。

2.基于堆的构造方法

堆是完全二叉树的一种特殊形式，它是具有下列性质的完全二叉树：每个节点的值都大于或等于其左右子节点的值。堆可以分为大根堆和小根堆。在大根堆中，每个节点的值都大于或等于其左右子节点的值，而在小根堆中，每个节点的值都小于或等于其左右子节点的值。

通过调整节点的位置，我们可以将一个无序数组转化为一个大根堆或一个小根堆。对于一个大根堆，其根节点是整个堆中的最大值；而对于一个小根堆，其根节点是整个堆中的最小值。基于堆的构造方法可以快速地构造完全二叉树，同时还可以保证堆的性质。

三、完全二叉树的性质

1.完全二叉树的节点数是2^n-1

对于深度为n的完全二叉树，它包含2^n-1个节点。由于每个节点的度数均不超过2，因此一个深度为n的二叉树的最大节点数为2^n-1。当一个完全二叉树的所有节点都被占用时，它的深度就到达了最大值n。

2.完全二叉树的叶子节点只存在于最后一层或者倒数第二层

由于完全二叉树的定义，除最后一层外，其他层的节点都是满的。因此，在最后一层之前的层必须达到最大的节点数。这意味着，完全二叉树的叶子节点只能存在于最后一层或者倒数第二层。

3.完全二叉树的高度为log(N+1)

由于完全二叉树的节点数是2^n-1，因此在树高为h的情况下，2^h-1 >= N，2^h >= N+1，h >= log(N+1)。因此，完全二叉树的高度为log(N+1)。