直方图平均数如何计算例题

直方图是数理统计中常用的一种图形表达方法，其通过在数轴上以矩形表示数据出现频率和频数，从而直观地反映数据的分布情况。而直方图平均数则是通过直方图来计算数据集的平均值，它是指数据集中每个数据出现的频率的加权平均值。本文将从多个角度分析直方图平均数如何计算的例题。

一、一维数据的直方图平均数计算

对于一维数据集来说，其直方图是一列矩形，每个矩形高度表示对应数据的频率，而宽度则表示该区间的跨度。那么，如何计算这一维数据集的直方图平均数呢？

假设给定一组一维数据集{15,18,20,22,25,30}的直方图，其频数和频率分别为：

区间 | 频数 | 频率

-------- | ----- | -----

14.5~17.5 | 1 | 1/6

17.5~20.5 | 2 | 1/3

20.5~23.5 | 2 | 1/3

23.5~26.5 | 0 | 0

26.5~29.5 | 1 | 1/6

那么，该数据的直方图平均数计算公式为：

$${\bar{x}}=\frac{\sum_{i=1}^kf_ix_i}{\sum_{i=1}^kf_i}$$

其中，k为区间数，fi为第i个区间的频数，xi为第i个区间的中值(即该区间的下限值和上限值的平均值)。

根据上述公式，可以计算出该组数据的直方图平均数：

$$\begin{aligned} {\bar{x}} &=\frac{(1\times16)+(2\times19)+(2\times22)+(0\times25)+(1\times28)}{1+2+2+0+1} \\ & =\frac{39+44}{6} \\ & =\frac{83}{6} \\ & =13.83 \end{aligned}$$

因此，该组数据的直方图平均数为13.83。

二、多维数据的直方图平均数计算

对于多维数据集来说，其直方图是一个二维图形，其中横坐标和纵坐标分别表示该维度的数据范围。那么，如何计算这一多维数据集的直方图平均数呢？

假设给定一个二维数据集{(2,6),(3,7),(4,8),(6,12),(8,14)}的直方图，其频数和频率分别为：

横轴区间/纵轴区间 | (2,6) | (3,7) | (4,8) | (5,9) | (6,10) | (7,11) | (8,12) | (9,13) | (10,14)

-------- | ----- | ----- | ----- | ----- | ----- | ----- | ----- | ----- | -----

(2,3] | 1 | | | | | | | |

(3,4] | | 1 | | | | | | |

(4,5] | | | 1 | | | | | |

(5,6] | | | | | 1 | | | |

(6,7] | | | 1 | | | 1 | | |

(7,8] | | | | | | | 1 | |

(8,9] | | | | | | | | |

(9,10] | | | | | | | | |

(10,11] | | | | | | | | 1

(11,12] | | | | | | | | |

(12,13] | | | | | | | | |

(13,14] | | | | | | | | |

那么，该数据的直方图平均数计算公式为：

$$\begin{aligned} {\bar{x}}&=\frac{\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^lf_{ij}\bar{x}_{ij}}{\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^lf_{ij}}\\ &=\frac{\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^lf_{ij}(x_i+y_j)/2}{\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^lf_{ij}} \end{aligned} $$

其中，k为横轴区间数，l为纵轴区间数，fij为第i个横轴区间和第j个纵轴区间的频数，x为横坐标，y为纵坐标。

根据上述公式，可以计算出该二维数据的直方图平均数：

$$\begin{aligned} {\bar{x}}&=\frac{(1\times2+1\times3+1\times4+1\times6+1\times8)+(1\times3+1\times4+1\times5+1\times7)+(1\times4+1\times5+1\times6)+(1\times6+1\times7)+(1\times8)+(1\times7+1\times8)+2\times10}{1+1+1+1+1+2+1+1+1}\\ &=\frac{39}{10}\\ & =3.9\end{aligned}$$

因此，该二维数据的直方图平均数为3.9。

三、直方图平均数计算的应用举例

直方图平均数的计算方法虽然有些繁琐，但是它有较强的实际应用价值。

例如，在一项调查中得到许多人的身高数据，并将其制成身高分布图。若我们想获得这一数据集的平均身高，则可以通过计算其直方图平均数来获得。

再例如，在市场调查中收集到了消费者购买一款产品时花费的金额，并将其制成消费金额分布图。若我们想获得该产品的平均售价，则同样可以采用直方图平均数的计算方法。