图的拓扑排序求最短路径怎么求

图的最短路径问题是计算机科学中一个非常重要的问题，涉及到许多领域，如网络路由，交通规划等。其中一种解决这个问题的方法是拓扑排序。本文将从多个角度分析图的拓扑排序算法如何求解最短路径问题。

一、图的概念和最短路径问题

首先，我们需要了解图的概念。图是由节点和边组成的一种数据结构，用于表示不同结点之间的关系。最短路径问题是希望求出两个节点之间的最短路径，这个路径可以是节点之间的路径或是边之间的路径。

二、拓扑排序

拓扑排序是一种对有向无环图（DAG）进行排序的算法，它可以用于求解许多与DAG相关的问题，如拓扑排序、关键路径、最短路径等。

拓扑排序通常使用Kahn算法和深度优先搜索算法来实现。其中Kahn算法使用队列来实现拓扑排序，它首先找到入度为0的节点，将这些节点加入队列。然后，从队首节点开始处理节点，更新相邻节点的入度值，并把入度值变为0的节点加入队列。最后，按照节点加入队列的顺序输出排序结果。深度优先搜索也可以用于拓扑排序，我们可以使用一个栈来保存遍历的顺序，每次遍历的节点弹出栈顶即可。

三、如何用拓扑排序求解最短路径

对于一个有向无环图，我们可以使用拓扑排序求解它的最短路径。最短路径可以使用动态规划来求解，而拓扑排序是动态规划求解的基础。拓扑排序可将有向无环图变成一个线性序列，以此为基础求解最短路径问题。

通过拓扑排序，我们可以依次求出每个节点到起点的最短路径。首先，我们将起点的最短路径长度设置为0，其他的节点的距离设置为正无穷。然后，我们按拓扑排序的顺序依次处理每个节点，遍历节点相邻的所有节点，比较它们当前的距离和经过当前节点到达的距离，选择较小的值更新这个节点的距离。最后，我们得到了每个节点到达起点的最短路径，即可得到起点到任意节点的最短路径。

四、实现代码

下面是一个使用拓扑排序求解最短路径的Python代码示例：

```Python

from collections import defaultdict

import heapq

def topologic_sort(graph: defaultdict, n: int, start: int) -> list:

in_degree = [0] * n # 记录每个节点的入度

for node, adj_list in graph.items():

for i in adj_list:

in_degree[i] += 1

heap = [(0, start)] # 堆记录每个节点的最短路径及节点编号

distance = [float('inf')] * n # 起点到每个节点的最短距离

distance[start] = 0

while heap:

(dist, node) = heapq.heappop(heap)

for adj in graph[node]:

in_degree[adj] -= 1

if in_degree[adj] == 0:

updated = dist + 1

if updated < distance[adj]:

distance[adj] = updated

heapq.heappush(heap, (distance[adj], adj))

return distance

```

五、总结

本文介绍了图的概念，拓扑排序算法及如何使用拓扑排序算法解决最短路径问题。拓扑排序算法是解决一类图论问题的有效算法，在实际应用中有很多的优势。对于想了解最短路径问题的人来说，拓扑排序算法是一个好的切入点。