完全图的定义并举例

图是一种用来表示物体之间相互关系的结构，它由一组点和连接这些点的边构成。完全图是一种无向图，其中每对不同的顶点之间都存在一条边。在这篇文章中，我们将讨论完全图的定义、性质和举例，并解释其在图论中的应用。

定义

完全图是一种图，其中任意两个不同的顶点之间都存在一条边。一个完全图可以用K_n表示，其中n是顶点的数量，这个图包含n(n-1)/2条边。一个三个顶点的完全图如下所示：

A

/ \

/ \

B-----C

在这个完全图中，任意两个不同的顶点之间都存在一条边，所以这是一个完全图。这个完全图的顶点数为3，边数为3*(3-1)/2=3。

性质

下面是完全图常见的性质：

1. 任意两个不同的顶点之间都存在一条边。

2. 对于任意一个完全图K_n，它的顶点数为n，边数为n(n-1)/2。

3. 任意一个n个顶点的简单无向图中，如果其边数等于n(n-1)/2，则该图是完全图。

举例

完全图在应用中十分常见，下面我们将给出一些完全图的例子。

1. 五个顶点的完全图K_5：

A---B

| / |

|/ |

C---D

\ /

E

2. 六个顶点的完全图K_6：

A---B

| / |

|/ |

C---D

\ / \

E---F

3. 七个顶点的完全图K_7：

A

/ | \

/ | \

B---C---D

\ | /

\ | /

E

应用

完全图在图论中有广泛的应用，下面列举几个例子：

1. 哈密顿回路：哈密顿回路是一种简单回路，穿过图中每一个节点恰好一次。在一个n个顶点的完全图中，当n大于等于3时，它必须包含哈密顿回路。

2. 图染色：在一个n个顶点的完全图中，需要n种颜色才能使每个顶点拥有不同的颜色。

3. 点覆盖：在一个n个顶点的完全图中，每一个点都是一个覆盖点，因为它可以覆盖和它相邻的所有边。