二叉排序树的定义及构造

二叉排序树是一种特殊的二叉树结构，在其中每个节点都有一个关键字，且具有以下性质：

1. 左子树中所有节点的关键字都小于根节点的关键字；

2. 右子树中所有节点的关键字都大于根节点的关键字；

3. 左右子树均为二叉排序树；

通过以上的性质，我们可以在二叉排序树中快速地进行搜索、插入和删除操作。而构造一棵二叉排序树的核心思想就是不断地将新的节点插入到合适的位置上。

一、二叉排序树的基本操作

1. 搜索

在二叉排序树中查找一个节点的过程其实就是递归地比较节点的关键字和目标关键字的大小，从而不断进入左子树或右子树，直至找到目标节点或到达空节点。需要注意的是，在二叉排序树中查找一个节点的时间复杂度为O(h)，其中h为树的高度，而树的高度与树的形态有关，可能为O(n)，也可能为O(logn)。

2. 插入

在二叉排序树中插入一个节点也比较简单，只需要先按照搜索的方法找到该节点应该插入的位置，然后将其插入到空节点的位置即可。需要注意的是，在插入节点后可能会使树失去平衡，进而导致树的搜索和插入效率下降。因此，我们需要对二叉排序树进行平衡操作，例如左旋、右旋等。

3. 删除

在二叉排序树中删除一个节点分为三种情况：

（1）该节点没有子节点，直接将其删除即可；

（2）该节点只有一个子节点，将其父节点与其子节点连接起来即可；

（3）该节点有两个子节点，需要找到其右子树中的最小节点，将其替换为当前节点，并将该最小节点删除。

二、构造二叉排序树的方法

1. 顺序插入法

通过不断将新节点插入二叉排序树中，逐渐构造一棵完整的树。具体地，实现方法为：首先将第一个节点作为根节点，然后依次插入后续的节点，并按照从根节点出发，逐层向下比较的方法将其插入到树中。

这种方法的时间复杂度为O(n^2)，因为当插入的节点序列已经有序时，树的形态可能会是极度的不平衡状态，例如斜树。

2. 平衡插入法

通过维护一个平衡二叉树的特性，从而确保每个节点的左右子树高度差不超过1。常见的平衡二叉树结构有红黑树、AVL树等。通过维护平衡性，可以在O(logn)的时间内进行搜索、插入和删除等操作。