二叉排序树如何构造

二叉排序树是一种特别的二叉树，它具有以下特点：左子树上所有节点的值小于根节点的值，右子树上所有节点的值大于根节点的值，且左右子树也分别为二叉排序树。如何构造二叉排序树? 本文将从多个角度分析，为您进行讲解。

一、构建二叉排序树的过程

构造二叉排序树的过程，可以通过对排序数据的插入构建。排序数据依次插入到二叉排序树上。具体的插入过程如下：

1. 若当前的二叉排序树为空树，则将新元素插入到根结点上。

2. 如果插入的元素比当前结点的元素小，则继续在当前结点的左子树上进行查找。如果当前结点没有左子树，则插入到左子树上。

3. 如果插入的元素比当前结点的元素大，则继续在当前结点的右子树上进行查找。如果当前结点没有右子树，则插入到右子树上。

4. 如果插入的元素与当前结点的元素相等，则不进行任何操作，直接返回。

二、算法实现方式

实现二叉排序树的算法有多种方式，以下仅列举两种方法：

1. 递归法

二叉排序树是一种递归定义的数据结构，因此递归的方式实现插入元素非常自然。递归的终止条件是当前结点为空。具体的实现过程如下：

```

void InsertBST(BiTree &T, int key){

if (T==NULL){

T = (BiTree*)malloc(sizeof(BiTree));

T -> data = key;

T -> lchild = T -> rchild = NULL;

return;

}

if(key > T -> data){

InsertBST(T->rchild, key); // 在右子树插入

}else if(key < T -> data){

InsertBST(T->lchild, key); // 在左子树插入

}

}

```

2. 非递归法

使用辅助空间栈来存储遍历到的结点。具体实现过程如下：

```

void InsertBST(BiTree &T, int key){

BiTNode *p = T, *q = NULL;

if(T == NULL){

T = (BiTree*)malloc(sizeof(BiTree));

T -> data = key;

T -> lchild = T -> rchild = NULL;

return;

}

while(p != NULL){

q = p;

if(key > p -> data){

p = p -> rchild;

}else if(key < p -> data){

p = p -> lchild;

}else{

return;//已经存在不插入

}

}

// 找到插入位置，创建新结点

BiTNode *node = (BiTree*)malloc(sizeof(BiTree));

node -> data = key;

node -> lchild = node -> rchild = NULL;

if(key > q -> data){

q -> rchild = node;

}else{

q -> lchild = node;

}

}

```

三、二叉排序树的特殊性质

除了具有二叉排序树的特点外，二叉排序树也有一些特殊性质。

1. 中序遍历得到的序列是有序的。

2. 二叉排序树的高度取决于插入顺序，最坏情况下可能是单支树，造成查询低效。

3. 对于非叶子节点，下面左右孩子的高度差不超过1。

四、二叉排序树的应用

根据二叉排序树的特点，我们可以对树进行信息的检索和更新操作，有以下应用：

1. 插入数据：由于二叉排序树的特性，插入数据只需要O(log2n) 的时间复杂度，十分高效。

2. 删除数据：如果只删除一个结点，也可以完成O(log2n) 的时间复杂度。当然，如果删除的是一颗分支，需要遇到树的重构。

3. 查找最大值和最小值：复杂度也是O(log2n)，需要遍历左右子树查找。

4. 查找指定值：由于中序遍历得到的序列是有序的，二分策略可以快速的定位到指定值。

综上所述，二叉排序树作为一种常用的数据结构，其构建方式及特殊性质值得深入了解，掌握其应用能够为程序的性能带来极大提升。