动态规划模型例题

动态规划是一种求解最优化问题的方法，广泛应用于各个领域。本文将以一个简单的例题为基础，从算法思想、应用场景、实践方法三个角度进行分析。

例题描述：

小明要从起点到终点，中间有n个加油站，每个加油站可以加a[i]升油，距离终点的距离为b[i]千米，每升油可以行驶d千米，车的油箱最多容纳c升油，求最少需要加几次油。

解题思路：

此类有明显阶段划分、重叠子问题和最优子结构的问题适宜采取动态规划算法思想。本例中，从起点到终点经过的每个加油站是一个阶段，选择在加油站加油还是不加油是一个具有重叠结构的子问题，经过每个加油站得出的汽油量和距离对应的油量与距离的比值为k[i]，满足行驶距离d=油量×k[i]。

因此，可以使用以下状态转移方程进行求解：

dp[i]为到第i个加油站时最少加油的次数，

dp[i]=min(dp[j]+1) ，其中j

示例代码：

def minRefuelStops(self, target: int, startFuel: int, stations: List[List[int]]) -> int:

n = len(stations)

dp = [0] * (n+1)

dp[0] = startFuel

ans = 0

for i in range(n):

for j in range(i, -1, -1):

if dp[j] >= stations[i][0]:

dp[j+1] = max(dp[j+1], dp[j] + stations[i][1]) #更新加油站数、到下一站时的油量

if dp[i+1] > target:

return i+1

return -1

应用场景：

动态规划广泛应用于各个领域，例如控制系统、生物信息处理、人工智能、物理和化学建模、金融等等。其本质是找规律，将复杂问题拆解成数个简单问题，依据最优子结构，递归地解决问题。

此类问题应该满足几个需要：

1. 阶段性：复杂问题可以划分成若干个具有阶段性质的子问题。

2. 最优性：阶段间最优决策具有最优性。

3. 子问题重叠性：每次决策的状态必须在之前决策得出的状态集合中。

实践方法：

掌握动态规划算法需要掌握以下几方面的内容：

1. 状态表示。定义状态有助于明确问题的分类，找出最优子解。例如本题中的dp[i]表示到第i个加油站时最少加油的次数。

2. 状态转移方程。找到问题之间的关系，并用数学公式进行描述，即状态转移方程。例如本题中的dp[j+1] = max(dp[j+1],dp[j] + stations[i][1])。

3. 边界条件。找到初始状态的值和边界值。