二叉排序树删除有左右子树的结点

二叉排序树是一种常见的数据结构，其被广泛地应用于各种算法和编程问题中。二叉排序树是一种特殊的二叉树，它的每个结点都满足左子树中所有结点的值比它小，右子树中所有结点的值比它大。这种限制使得二叉排序树非常适合于查找和排序操作。

在二叉排序树中，删除结点是一个重要的操作。当我们删除一个有左右子树的结点时，需要考虑多个因素。本文将从多个角度进行分析，来讲解如何删除一个有左右子树的结点。

1. 删除策略

在删除一个有左右子树的结点时，我们首先需要进行的是结点的拆分。具体来说，我们需要找到该结点左子树中的最大节点或右子树中的最小节点，用其替代删除节点，则依然能维持二叉排序树的有序性。如下图所示，将要删除的结点设为 X ，X结点左右子树的结点都不为空。


假设我们选择右子树中的最小节点B替代X，要如何在结点中进行操作呢？我们可以将结点X的左子树赋给结点B的左子树，将结点X的右子树除B外一整个移到结点B的右子树上。这样结点B就成为了X位置上的新结点，相当于将结点B和结点X在二叉排序树中的位置做了交换。


2. 实现代码

删除有左右子树的结点是比较复杂的，对二叉排序树的结点进行了多次操作，需要提前对二叉排序树的各个节点知道其父亲节点是哪一个！实现代码如下：

```

//删除有左右子树的节点

void delete_2(BSTree &p, int x)

{

if (x < p->data)

delete_2(p->lchild, x);

else if (x > p->data)

delete_2(p->rchild, x);

//已经找到要删除的节点

else if (p->lchild != NULL && p->rchild != NULL)

{

//找到x节点左子树中最大的节点 然后进行交换

BSTree q = p->lchild;

while (q->rchild)

q = q->rchild;

p->data = q->data;

delete_2(p->lchild, q->data);

}

else

{

BSTree temp = p;

if (p->lchild != NULL)

p = p->lchild;

else if (p->rchild != NULL)

p = p->rchild;

else

p = NULL;

delete temp;

}

}

```

3. 时间复杂度与算法分析

二叉排序树的时间复杂度主要与树的高度有关。在最好情况下，二叉排序树的高度为 log(n) ，其中 n 表示二叉排序树中结点的个数。由于二叉排序树是一种平衡的树，因此在查找、插入和删除操作中，它的运行时间都是非常快的。

在该算法中，删除结点的操作其实是在搜索结点并进行节点交换的过程中完成的。因此，其时间复杂度与搜索操作的时间复杂度相同，即为 O(log n)。然而，在删除有左右子树的结点时，我们需要花费额外的时间寻找右子树的最小节点。这个过程最多需要遍历右子树的高度，因此时间复杂度是 O(log n)。

4. 应用场景

二叉排序树的数据结构常常被大型数据库、搜索引擎和其他涉及数据排序和查找的算法中使用。由于二叉排序树具有很好的时间复杂度，其被广泛用于对大量数据进行排序或查找的情形。

在实际应用中，二叉排序树常常被用于下列场景：

（1）排队模拟

二叉排序树可以方便的进行查找、插入和删除操作，因此在模拟排队等需要快速查找和排序的场合下，常常使用二叉排序树。

（2）计算机网络

在计算机网络的领域中，二叉排序树被用于实现广播和组播等数据通信方式，从而方便地实现低延迟和高速的数据传输。

（3）算法设计

由于二叉排序树具有良好的性质，因此在算法设计中，二叉排序树也经常被作为一种基本数据结构使用。例如，在一些图形算法中，二叉排序树可以用于在二维空间中进行快速搜索和定位。

5. 结论

通过本文的分析，我们可以认识到删除有左右子树的结点是一个重要的操作，其需要将二叉排序树中的节点进行合并、删除和更新。在实现该操作时，我们需要明确删除策略和操作流程，以确保二叉排序树的有序性和快速性。此外，我们还可以看到二叉排序树在各种应用场景中都具有广泛的应用，包括模拟排队、计算机网络通信和算法设计等。