动态规划模型分类有哪些

动态规划是一个重要的算法思想，已经应用于各种领域中的问题。在应用动态规划算法时，需要首先确定问题的动态规划模型。这篇文章将从多个角度来探讨动态规划模型的分类。

一、按状态空间划分

动态规划问题的状态空间是所有可能的状态的集合。分类模型的首要任务就是分类问题的状态空间，以便能够更好地描述问题的特征。按状态空间划分，动态规划模型可以分为一维状态空间、二维状态空间和多维状态空间。

1.一维状态空间

一维状态空间主要针对的是标称变量或者顺序变量的动态规划问题。例如，最长递增子序列问题便是一维状态空间问题，其中每一个状态仅依赖于之前某一状态的长度。

2. 二维状态空间

二维状态空间主要针对的是二元组的动态规划问题。例如，最长公共子序列问题依赖于两个序列，因此是一个二维状态空间问题。其中每一个状态依赖于两个之前状态的长度。

3. 多维状态空间

多维状态空间主要针对的是组合变量的动态规划问题。例如，旅行商问题依赖于多个变量之间的组合，因此是一个多维状态空间问题，其中每一个状态都会依赖于之前若干状态的路径。

二、按状态转移方程划分

动态规划问题的状态转移方程描述了如何从当前状态反向推导出之前状态的序列。相比于状态空间，状态转移方程更关注状态之间的联系。按照状态转移方程来划分，动态规划模型可以分为线性状态转移和非线性状态转移两大类。

1. 线性状态转移

线性状态转移包括递归和迭代状态转移两种方式。递归状态转移是指从当前状态向前的转移方式，而迭代状态转移则是从前往后的转移方式。最长公共子序列模型和背包模型便属于线性状态转移的动态规划问题。

2. 非线性状态转移

非线性状态转移主要包括分治和动态规划两种方式。其中，分治方式是将问题的求解分解为若干子问题，动态规划方式则是将问题的求解分解为若干小问题，并在求解时不断优化答案。博弈论和最长回文子序列便属于非线性状态转移的动态规划问题。

三、按优化目标划分

动态规划问题的优化目标是为了能够找到最优的方案，或者最大化或最小化某一变量。按照优化目标来划分，动态规划模型可以分为最优化模型和约束模型两大类。

1. 最优化模型

最优化模型是指需要在使用最优解的情况下，获得最大化或最小化的目标。其中，最大化模型和最小化模型是两种完全不同的问题。路径最小问题和矩阵链问题便属于最优化模型的动态规划问题。

2. 约束模型

约束模型是指在特定条件下，需要满足问题的其余限制条件。例如，砝码问题和换零钱问题都属于约束模型的动态规划问题。

综上所述，动态规划模型是按照状态空间、状态转移方程和优化目标三个方面进行划分的。理解这些分类能够帮助人们解决各种动态规划问题，并优化求解过程。需要注意的是，不同的动态规划问题可能在不同的分类模型下都能够进行求解，因此需要根据具体情况灵活使用。