动态规划矩阵连乘填表格

希赛网 2024-02-20 18:41:18

在计算机科学的算法设计中，动态规划是一种可以用来求解最优解的算法。动态规划通过把问题分解成更简单的子问题来解决，而且这些子问题不会重复计算。矩阵连乘问题就是一个经典的动态规划问题。在本文中，我们将重点讨论动态规划矩阵连乘填表格的具体方法和相关理论。

1. 矩阵连乘问题简介

矩阵连乘问题是计算机科学中非常经典的一个问题。如何计算一系列矩阵的乘积，在保证乘积结果不变的情况下最小化计算次数是矩阵连乘问题的核心。例如，假设有四个矩阵A、B、C、D，尺寸分别为A(10*100)、B(100*5)、C(5*50)、D(50*20)，它们相乘的计算次数就可以表示为：(A*B)*C + A*(C*D)，用括号表示运算次数的先后顺序。

2. 矩阵连乘的动态规划模型

动态规划通常用于处理最优化问题，因此矩阵连乘问题可以采用该算法求解。矩阵连乘问题的动态规划模式包含以下几步：

（1）找到状态并描述状态。如本题所示，状态就是某一步计算的矩阵连乘。因此，状态可以表示为i到j的矩阵连乘。

（2）找到状态之间的转移关系。在矩阵乘法中，一个矩阵的行数等于下一个矩阵的列数，因此我们可以利用这个关系来建立状态之间的转移关系。

（3）确定边界条件。矩阵一定是不同尺寸的，所以我们需要确定边界，即只有一个矩阵相乘时的计算次数。

（4）利用状态表格计算结果。根据状态和转移关系，填出状态表格。最后通过状态表格计算出最优乘法计算方式和计算次数。

3. 动态规划矩阵连乘填表格的具体流程

（1）将所有的矩阵依次排成行向量，设矩阵的数量为n，则有n+1个行向量，分别为：p[0]、p[1]、…、p[n]。其中，第i个矩阵的列数等于第i+1个的行数，因此第一个矩阵的行数就是矩阵A的行数，最后一个矩阵的列数就是矩阵D的列数。

（2）初始化状态表格m和s，其中m[i][j]是第i个矩阵到第j个矩阵的最小计算次数。其中，i<=j，如果i=j，则m[i][j]=0，表示只有一个矩阵。

（3）通过公式计算状态表格m和s：

m[i][j] = min{ m[i][k] + m[k+1][j] + p[i-1]*p[k]*p[j] }, k ∈ [i,j-1]

s[i][j] = Mi̸n{ m[i][k] + m[k+1][j] + p[i-1]*p[k]*p[j] }, k ∈ [i,j-1]