迭代法有哪几种

在数值计算中，迭代法是一种常见的求解数值近似解的方法。其基本思路是从一个初始值开始，通过反复迭代同一公式来逐渐逼近实际解。迭代法主要应用于无法直接求解的方程或函数中，具有广泛的应用，例如在工程、物理、经济、金融等领域中都有重要的应用。本文将从多个角度分析迭代法，着重介绍其几种常见的形式及其适用范围。

一、基本形式

迭代法的基本形式是选择一个初始值$x_0$，通过反复迭代同一公式$x_{n+1}=g(x_n)$来逐渐逼近其实际解$x^*$，其中$g(x)$是一个函数，其实际解可以表示为：

$$

x^*=\lim_{n\to\infty}x_n

$$

其中$n$为迭代次数。迭代法基于此基本形式，发展出了多种形式。以下分别介绍几种常见的形式。

二、牛顿迭代法

牛顿迭代法是一种常用的迭代法，主要用于求方程的根。其思路是在初始值点$(x_0, f(x_0))$处，沿着该点的切线，得到交点$x_1$，然后在点$(x_1, f(x_1))$处重新计算切线再次求交，迭代求解直到满足精度要求。具体公式为：

$$

x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}

$$

其中$f(x)$和$f'(x)$分别是函数$f(x)$在$x$处的函数值和导数值。

三、Jacobi迭代法

Jacobi迭代法是一种线性迭代法，主要用于求解线性方程组。其思路是将系数矩阵分解成对角矩阵和非对角矩阵两部分，然后通过对每个方程进行单独迭代，得到方程组的近似解。具体公式为：

$$

x_i^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}\left(b_i-\sum_{j=1,j\neq i}^{n}a_{ij}x_j^{(k)}\right)

$$

四、Gauss-Seidel迭代法

Gauss-Seidel迭代法也是一种线性迭代法，与Jacobi迭代法类似，主要用于求解线性方程组。其思路是在Jacobi迭代法的基础上，采用已经计算出来的解来代替该方程中待计算的解。相比于Jacobi迭代法，Gauss-Seidel迭代法需要比较少的迭代次数，具体公式为：

$$

x_i^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}\left(b_i-\sum_{j=1}^{i-1}a_{ij}x_j^{(k+1)}-\sum_{j=i+1}^{n}a_{ij}x_j^{(k)}\right)

$$

五、全局收敛性

迭代法的全局收敛性是指迭代法能否对于任意的初始值$x_0$，以有限次迭代使得$x_n$收敛到$x^*$，进而使得$x^*$为迭代法解的性质。针对不同的迭代法，其全局收敛性的条件也不尽相同。例如牛顿迭代法需要满足$f(x)$在$x^*$处的一阶导数存在且不为0，且$f(x)$的二阶导数存在，则满足全局收敛性。